Номер 49.13, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.13. Найдите промежутки выпуклости вверх графика функции:

1) $y = x\sqrt{2-x}$;

2) $y = \sqrt{4+x}$.

1) Для нахождения промежутков выпуклости вверх графика функции $y = x\sqrt{2-x}$, необходимо найти ее вторую производную и определить интервалы, на которых вторая производная отрицательна ($y'' < 0$).

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, что дает $x \le 2$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, 2]$.

Найдем первую производную, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x)'\sqrt{2-x} + x(\sqrt{2-x})' = 1 \cdot \sqrt{2-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{2(\sqrt{2-x})^2 - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 2x - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$

Теперь найдем вторую производную $y''$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y'' = \frac{(4 - 3x)'(2\sqrt{2-x}) - (4 - 3x)(2\sqrt{2-x})'}{(2\sqrt{2-x})^2} = \frac{-3(2\sqrt{2-x}) - (4 - 3x)(2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{2-x}})}{4(2-x)}$

$y'' = \frac{-6\sqrt{2-x} + \frac{4-3x}{\sqrt{2-x}}}{4(2-x)}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2-x}$, чтобы избавиться от дроби в числителе:

$y'' = \frac{-6(\sqrt{2-x})^2 + (4-3x)}{4(2-x)\sqrt{2-x}} = \frac{-6(2-x) + 4 - 3x}{4(2-x)^{3/2}} = \frac{-12 + 6x + 4 - 3x}{4(2-x)^{3/2}} = \frac{3x - 8}{4(2-x)^{3/2}}$

Определим знак второй производной. Вторая производная существует при $x < 2$. На этом интервале знаменатель $4(2-x)^{3/2}$ всегда положителен. Значит, знак $y''$ определяется знаком числителя $3x - 8$.

Поскольку мы рассматриваем $x < 2$, то $3x < 6$, следовательно, $3x - 8 < 6 - 8 = -2$. Числитель всегда отрицателен.

Так как на интервале $(-\infty, 2)$ числитель отрицателен, а знаменатель положителен, то $y'' < 0$ для всех $x < 2$. Это означает, что график функции является выпуклым вверх на всей своей области определения.

Ответ: $(-\infty, 2]$.

2) Найдем промежутки выпуклости вверх для функции $y = \sqrt{4+x}$.

Область определения функции находится из условия $4 + x \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Область определения $D(y) = [-4, \infty)$.

Найдем первую и вторую производные. Представим функцию как $y = (4+x)^{1/2}$.

Первая производная:

$y' = \frac{1}{2}(4+x)^{-1/2} \cdot (4+x)' = \frac{1}{2\sqrt{4+x}}$

Вторая производная:

$y'' = \left(\frac{1}{2}(4+x)^{-1/2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(4+x)^{-3/2} \cdot (4+x)' = -\frac{1}{4}(4+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{(4+x)^3}}$

График функции выпуклый вверх, если $y'' < 0$.

Вторая производная определена при $4+x > 0$, то есть при $x > -4$. На этом интервале знаменатель $4\sqrt{(4+x)^3}$ всегда положителен. Числитель равен -1, то есть отрицателен.

Следовательно, $y''$ всегда отрицательна на интервале $(-4, \infty)$. Это означает, что график функции выпуклый вверх на всей своей области определения.

Ответ: $[-4, \infty)$.