Номер 50.2, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.2. Найдите область определения производной функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 - 0.09}$;

2) $f(x) = \frac{x}{16 + x^2}$;

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 2.25}$;

4) $f(x) = \frac{x}{9 - x^2}$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 0,09}$. Область определения производной функции - это множество всех значений $x$, для которых производная существует. Производная существует в тех точках области определения функции, где она дифференцируема. Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, где $u = x^2 - 0,09$, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 0,09})' = \frac{(x^2 - 0,09)'}{2\sqrt{x^2 - 0,09}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 0,09}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 0,09}}$.

Для того чтобы производная $f'(x)$ была определена, выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.

$x^2 - 0,09 > 0$

$x^2 > 0,09$

$|x| > \sqrt{0,09}$

$|x| > 0,3$

Это неравенство выполняется при $x < -0,3$ или $x > 0,3$. Таким образом, область определения производной — это объединение двух интервалов.

Ответ: $(-\infty; -0,3) \cup (0,3; \infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x}{16 + x^2}$. Эта функция определена и дифференцируема для всех действительных чисел, так как знаменатель $16 + x^2$ всегда положителен (его наименьшее значение равно 16 при $x=0$) и никогда не обращается в ноль. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u = x, v = 16 + x^2$

$u' = 1, v' = 2x$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (16 + x^2) - x \cdot (2x)}{(16 + x^2)^2} = \frac{16 + x^2 - 2x^2}{(16 + x^2)^2} = \frac{16 - x^2}{(16 + x^2)^2}$.

Полученная производная $f'(x)$ также является рациональной функцией. Ее знаменатель, $(16 + x^2)^2$, никогда не равен нулю, так как $16 + x^2 \ge 16$. Следовательно, область определения производной — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; \infty)$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 2,25}$. Это задача, аналогичная пункту 1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, где $u = x^2 - 2,25$:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 2,25})' = \frac{(x^2 - 2,25)'}{2\sqrt{x^2 - 2,25}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 2,25}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2,25}}$.

Область определения производной $f'(x)$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$x^2 - 2,25 > 0$

$x^2 > 2,25$

$|x| > \sqrt{2,25}$

$|x| > 1,5$

Это неравенство выполняется при $x < -1,5$ или $x > 1,5$.

Ответ: $(-\infty; -1,5) \cup (1,5; \infty)$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x}{9 - x^2}$. Исходная функция не определена в точках, где знаменатель равен нулю:

$9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

В этих точках функция не может быть дифференцируема. Во всех остальных точках функция дифференцируема как рациональная функция. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u = x, v = 9 - x^2$

$u' = 1, v' = -2x$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (9 - x^2) - x \cdot (-2x)}{(9 - x^2)^2} = \frac{9 - x^2 + 2x^2}{(9 - x^2)^2} = \frac{9 + x^2}{(9 - x^2)^2}$.

Область определения производной $f'(x)$ — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель $(9 - x^2)^2$ не равен нулю. Это условие эквивалентно $9 - x^2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Таким образом, область определения производной совпадает с областью определения исходной функции.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; \infty)$.