Номер 50.5, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.5. Найдите точки экстремума функции $y = f(x):$

1) $f(x) = 5\sin8x - 6;$

2) $f(x) = -3\cos10x + 1;$

3) $f(x) = 2\cos3x - 1.$

1) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 5\sin(8x) - 6$ необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и решить полученное уравнение. Найденные корни будут являться точками экстремума.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (5\sin(8x) - 6)' = 5 \cdot \cos(8x) \cdot (8x)' - 0 = 40\cos(8x)$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$40\cos(8x) = 0$

$\cos(8x) = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь определим, какие из этих точек являются точками максимума, а какие — точками минимума. Функция $f(x)$ достигает своего максимального значения, когда $\sin(8x) = 1$.

$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x_{max} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $f(x)$ достигает своего минимального значения, когда $\sin(8x) = -1$.

$8x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x_{min} = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$ (что эквивалентно $x_{min} = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$ при соответствующем сдвиге $k$).

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, точки минимума $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$ (или $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$), где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = -3\cos(10x) + 1$ найдем ее производную и приравняем к нулю.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (-3\cos(10x) + 1)' = -3 \cdot (-\sin(10x)) \cdot (10x)' + 0 = 30\sin(10x)$.

Приравняем производную к нулю:

$30\sin(10x) = 0$

$\sin(10x) = 0$

$10x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим тип экстремумов. Из-за отрицательного коэффициента $(-3)$ перед косинусом, функция $f(x)$ достигает максимума, когда $\cos(10x) = -1$.

$10x = \pi + 2\pi k$

$x_{max} = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $f(x)$ достигает минимума, когда $\cos(10x) = 1$.

$10x = 2\pi k$

$x_{min} = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, точки минимума $x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 2\cos(3x) - 1$ найдем ее производную и приравняем к нулю.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (2\cos(3x) - 1)' = 2 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' - 0 = -6\sin(3x)$.

Приравняем производную к нулю:

$-6\sin(3x) = 0$

$\sin(3x) = 0$

$3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Определим тип экстремумов. Функция $f(x)$ достигает максимума, когда $\cos(3x) = 1$.

$3x = 2\pi k$

$x_{max} = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция $f(x)$ достигает минимума, когда $\cos(3x) = -1$.

$3x = \pi + 2\pi k$

$x_{min} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{2\pi k}{3}$, точки минимума $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.