Номер 50.3, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.3. Укажите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 9x + 8;$

2) $f(x) = \frac{5}{x} - 4;$

3) $f(x) = \sqrt{6-x} + 4;$

4) $f(x) = 3 - 7\sin3x.$

1) Функция $f(x) = x^2 - 9x + 8$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Множество значений функции — это промежуток от ординаты вершины до $+\infty$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-9}{2 \cdot 1} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(4.5) = (4.5)^2 - 9 \cdot (4.5) + 8 = 20.25 - 40.5 + 8 = -12.25$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-12.25$.

Множество значений функции: $E(f) = [-12.25; +\infty)$.

Ответ: $[-12.25; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{5}{x} - 4$. Чтобы найти множество значений, выразим переменную $x$ через $y$, где $y = f(x)$.

$y = \frac{5}{x} - 4$

$y + 4 = \frac{5}{x}$

Выражение $\frac{5}{x}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, $y+4 \ne 0$, что означает $y \ne -4$.

Продолжим выражать $x$:

$x = \frac{5}{y+4}$

Данное выражение для $x$ определено для всех значений $y$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $y+4 \ne 0$.

Отсюда $y \ne -4$.

Следовательно, функция может принимать любые действительные значения, кроме $-4$.

Множество значений функции: $E(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{6-x} + 4$.

Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно. Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство:

$\sqrt{6-x} \ge 0$.

(Область определения задается условием $6-x \ge 0$, то есть $x \le 6$).

Теперь к обеим частям неравенства $\sqrt{6-x} \ge 0$ прибавим 4:

$\sqrt{6-x} + 4 \ge 0 + 4$

$f(x) \ge 4$.

Наименьшее значение функции равно 4 (достигается при $x=6$). Функция может принимать любые значения, которые больше или равны 4.

Множество значений функции: $E(f) = [4; +\infty)$.

Ответ: $[4; +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = 3 - 7\sin(3x)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, для любого действительного $x$ справедливо двойное неравенство:

$-1 \le \sin(3x) \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на $-7$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-7) \ge -7\sin(3x) \ge 1 \cdot (-7)$

$7 \ge -7\sin(3x) \ge -7$.

Запишем это неравенство в стандартном виде:

$-7 \le -7\sin(3x) \le 7$.

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 7 \le 3 - 7\sin(3x) \le 3 + 7$

$-4 \le f(x) \le 10$.

Таким образом, все значения функции лежат в отрезке от $-4$ до $10$.

Множество значений функции: $E(f) = [-4; 10]$.

Ответ: $[-4; 10]$.