Номер 50.9, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.9.1) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$;

2) $f(x) = -x^3 - 6x$;

3) $f(x) = 2x^4 - 8x$;

4) $f(x) = -x^4 + 4$.

1) Для функции $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, +\infty)$.

При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$), $f'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x \in (-2, 2)$ (например, $x=0$), $f'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x \in (2, +\infty)$ (например, $x=3$), $f'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Промежуток возрастания: $[-2, 2]$.

Промежутки убывания: $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$.

Точка минимума: $x_{min} = -2$.

Точка максимума: $x_{max} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2, 2]$, убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$, точка минимума $x_{min} = -2$, точка максимума $x_{max} = 2$.

2) Для функции $f(x) = -x^3 - 6x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^3 - 6x)' = -3x^2 - 6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$-3x^2 - 6 = 0$

$-3x^2 = 6$

$x^2 = -2$.

Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, критических точек нет.

Определим знак производной на всей области определения. Так как $-3x^2 \le 0$ для любого $x$, то $f'(x) = -3x^2 - 6$ всегда отрицательна (например, $f'(0)=-6 < 0$).

Поскольку производная отрицательна на всей числовой оси, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Точек экстремума (максимума и минимума) у функции нет.

Промежутков возрастания нет.

Промежуток убывания: $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Для функции $f(x) = 2x^4 - 8x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^4 - 8x)' = 8x^3 - 8$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$8x^3 - 8 = 0$

$8x^3 = 8$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.

При $x \in (-\infty, 1)$ (например, $x=0$), $f'(0) = 8(0)^3 - 8 = -8 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x=2$), $f'(2) = 8(2)^3 - 8 = 64 - 8 = 56 > 0$, следовательно, функция возрастает.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Промежуток возрастания: $[1, +\infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.

Точка минимума: $x_{min} = 1$.

Точек максимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$, точка минимума $x_{min} = 1$.

4) Для функции $f(x) = -x^4 + 4$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^4 + 4)' = -4x^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$-4x^3 = 0$

$x = 0$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = -4(-1)^3 = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x \in (0, +\infty)$ (например, $x=1$), $f'(1) = -4(1)^3 = -4 < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

Точка максимума: $x_{max} = 0$.

Точек минимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$, убывает на промежутке $[0, +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 0$.