Номер 50.16, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.16.

1) $y = \frac{9 + x^2}{x^2 - 9}$;

2) $y = \frac{3 + x^2}{x^2 - 4}$;

3) $y = \frac{3 - 2x^2}{x^2 - 1}$.

1) $y = \frac{9+x^2}{x^2-9}$

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2-9 \neq 0$, что означает $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

$D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = \frac{9+(-x)^2}{(-x)^2-9} = \frac{9+x^2}{x^2-9} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{9+0}{0-9} = -1$. Точка $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{9+x^2}{x^2-9} = 0 \Rightarrow 9+x^2=0 \Rightarrow x^2=-9$. Действительных корней нет, пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=3$ и $x=-3$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{9+x^2}{x^2-9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1+9/x^2)}{x^2(1-9/x^2)} = 1$.

Горизонтальная асимптота $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (\frac{x^2+9}{x^2-9})' = \frac{2x(x^2-9) - (x^2+9) \cdot 2x}{(x^2-9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 - 18x}{(x^2-9)^2} = \frac{-36x}{(x^2-9)^2}$.

$y'=0$ при $x=0$.

При $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 3) \cup (3; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y(0) = -1$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{-36x}{(x^2-9)^2})' = -36 \frac{(x^2-9)^2 - x \cdot 2(x^2-9) \cdot 2x}{(x^2-9)^4} = -36 \frac{x^2-9-4x^2}{(x^2-9)^3} = \frac{-36(-3x^2-9)}{(x^2-9)^3} = \frac{108(x^2+3)}{(x^2-9)^3}$.

$y''=0$ не имеет действительных решений, так как $x^2+3 > 0$ для всех $x$. Точек перегиба нет.

Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2-9)^3$.

При $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$, $x^2-9 > 0$, $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-3; 3)$, $x^2-9 < 0$, $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Ответ: Функция определена для $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$, четная. Пересекает ось Oy в точке $(0, -1)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 3$, горизонтальная асимптота $y=1$. Возрастает на $(-\infty; -3)$ и $(-3; 0)$, убывает на $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$. Точка локального максимума $(0, -1)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-3; 3)$. Точек перегиба нет.

2) $y = \frac{3+x^2}{x^2-4}$

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2-4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = \frac{3+(-x)^2}{(-x)^2-4} = \frac{3+x^2}{x^2-4} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{3+0}{0-4} = -\frac{3}{4}$. Точка $(0, -3/4)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{3+x^2}{x^2-4} = 0 \Rightarrow 3+x^2=0 \Rightarrow x^2=-3$. Действительных корней нет, пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=2$ и $x=-2$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3+x^2}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1+3/x^2)}{x^2(1-4/x^2)} = 1$.

Горизонтальная асимптота $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (\frac{x^2+3}{x^2-4})' = \frac{2x(x^2-4) - (x^2+3) \cdot 2x}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 6x}{(x^2-4)^2} = \frac{-14x}{(x^2-4)^2}$.

$y'=0$ при $x=0$.

При $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 2) \cup (2; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y(0) = -3/4$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{-14x}{(x^2-4)^2})' = -14 \frac{(x^2-4)^2 - x \cdot 2(x^2-4) \cdot 2x}{(x^2-4)^4} = -14 \frac{x^2-4-4x^2}{(x^2-4)^3} = \frac{-14(-3x^2-4)}{(x^2-4)^3} = \frac{14(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}$.

$y''=0$ не имеет действительных решений, так как $3x^2+4 > 0$ для всех $x$. Точек перегиба нет.

Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2-4)^3$.

При $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$, $x^2-4 > 0$, $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-2; 2)$, $x^2-4 < 0$, $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Ответ: Функция определена для $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$, четная. Пересекает ось Oy в точке $(0, -3/4)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=1$. Возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$, убывает на $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Точка локального максимума $(0, -3/4)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-2; 2)$. Точек перегиба нет.

3) $y = \frac{3-2x^2}{x^2-1}$

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = \frac{3-2(-x)^2}{(-x)^2-1} = \frac{3-2x^2}{x^2-1} = y(x)$.

Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{3-0}{0-1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{3-2x^2}{x^2-1} = 0 \Rightarrow 3-2x^2=0 \Rightarrow x^2=3/2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3/2} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$. Точки $(\pm\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=1$ и $x=-1$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3-2x^2}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(-2+3/x^2)}{x^2(1-1/x^2)} = -2$.

Горизонтальная асимптота $y=-2$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (\frac{3-2x^2}{x^2-1})' = \frac{-4x(x^2-1) - (3-2x^2) \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x^3+4x-6x+4x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$.

$y'=0$ при $x=0$.

При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y(0) = -3$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (\frac{-2x}{(x^2-1)^2})' = -2 \frac{(x^2-1)^2 - x \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} = -2 \frac{x^2-1-4x^2}{(x^2-1)^3} = \frac{-2(-3x^2-1)}{(x^2-1)^3} = \frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$.

$y''=0$ не имеет действительных решений, так как $3x^2+1 > 0$ для всех $x$. Точек перегиба нет.

Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2-1)^3$.

При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $x^2-1 > 0$, $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (вогнутый).

При $x \in (-1; 1)$, $x^2-1 < 0$, $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (выпуклый).

Ответ: Функция определена для $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$, четная. Пересекает ось Oy в точке $(0, -3)$ и ось Ox в точках $(\pm\frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm 1$, горизонтальная асимптота $y=-2$. Возрастает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$, убывает на $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точка локального максимума $(0, -3)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-1; 1)$. Точек перегиба нет.