Номер 50.20, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.20. 1) Постройте график функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$ не имеет корней?

2) Постройте график функции $f(x) = x^4 - x^2 + 1$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - x^2 + 1 = a$ не имеет корней?

3) Постройте график функции $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$ имеет три корня?

1) Для построения графика функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ проведем ее исследование.

Это биквадратичная функция. Она является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Для нахождения точек экстремума найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x(x-1)(x+1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Определим значения функции в этих точках:

$f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ является точкой локального максимума.

$f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

$f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Точки $(1, 2)$ и $(-1, 2)$ являются точками локального минимума.

Таким образом, график функции представляет собой кривую, похожую на букву W, с вершинами в точках $(-1, 2)$, $(0, 3)$ и $(1, 2)$. Наименьшее значение функции равно 2.

Теперь рассмотрим уравнение $x^4 - 2x^2 + 3 = a$.

Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Из графика видно, что прямая $y = a$ не будет иметь общих точек с графиком функции $y = f(x)$, если она будет расположена ниже наименьшего значения функции.

Наименьшее значение функции $f(x)$ равно 2. Следовательно, при $a < 2$ уравнение не имеет корней.

Ответ: $a < 2$.

2) Для построения графика функции $f(x) = x^4 - x^2 + 1$ проведем ее исследование.

Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 + 1 = x^4 - x^2 + 1 = f(x)$, ее график симметричен относительно оси Oy.

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратичную функцию $g(t) = t^2 - t + 1$.

Найдем вершину параболы $g(t)$:

$t_{вершины} = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.

$g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Это наименьшее значение функции $g(t)$, а значит, и функции $f(x)$.

Точки минимума для $f(x)$ достигаются при $x^2 = t = \frac{1}{2}$, то есть при $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Значение функции в этих точках равно $\frac{3}{4}$.

Найдем точку пересечения с осью Oy, то есть $f(0)$:

$f(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$ является локальным максимумом.

График функции - кривая в форме буквы W с точками минимума $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{4})$ и локальным максимумом $(0, 1)$.

Рассмотрим уравнение $x^4 - x^2 + 1 = a$.

Это уравнение не имеет корней, если прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=f(x)$.

Поскольку наименьшее значение функции $f(x)$ равно $\frac{3}{4}$, уравнение не будет иметь корней, если $a < \frac{3}{4}$.

Ответ: $a < \frac{3}{4}$.

3) Для построения графика функции $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 8$ проведем ее исследование.

Функция является четной, так как $f(-x) = -(-x)^4 + 2(-x)^2 + 8 = -x^4 + 2x^2 + 8 = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.

Найдем производную функции для определения точек экстремума:

$f'(x) = (-x^4 + 2x^2 + 8)' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x-1)(x+1)$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Найдем значения функции в этих точках:

$f(0) = -0^4 + 2 \cdot 0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$ является точкой локального минимума.

$f(1) = -1^4 + 2 \cdot 1^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

$f(-1) = -(-1)^4 + 2 \cdot (-1)^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

Точки $(1, 9)$ и $(-1, 9)$ являются точками локального максимума. Наибольшее значение функции равно 9.

График функции представляет собой кривую, похожую на перевернутую букву W (или букву М), с вершинами в точках $(-1, 9)$, $(0, 8)$ и $(1, 9)$.

Рассмотрим уравнение $-x^4 + 2x^2 + 8 = a$.

Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и прямой $y = a$. Нам нужно найти такое значение $a$, при котором будет ровно три точки пересечения.

Анализируя график, видим, что три точки пересечения будут только в том случае, если прямая $y=a$ пройдет через точку локального минимума $(0, 8)$.

При $a = 8$ уравнение принимает вид $-x^4 + 2x^2 + 8 = 8$, что упрощается до $-x^4 + 2x^2 = 0$, или $x^2(-x^2 + 2) = 0$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$, и $-x^2+2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.

Таким образом, при $a=8$ уравнение имеет ровно три корня.

Ответ: $a = 8$.