Номер 50.18, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.18. Исследуйте функцию и постройте ее график. Проверьте правильность построения графика, используя программу “Живая геометрия”:

1) $y = x^2 \cdot \sqrt{3-x}$;

2) $y = x^2 \cdot \sqrt{2+x}$;

3) $y = x^2 \cdot \sqrt{4-x}$;

4) $y = x^2 \cdot \sqrt{3+x}$.

1) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{3-x}$.

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, 3]$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: при $x=0$, $y=0^2\sqrt{3-0} = 0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: при $y=0$, $x^2\sqrt{3-x} = 0$, откуда $x=0$ или $x=3$. Точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Так как $\lim_{x \to -\infty} x^2\sqrt{3-x} = +\infty$, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. Найдем производную:$y' = (x^2)'\sqrt{3-x} + x^2(\sqrt{3-x})' = 2x\sqrt{3-x} + x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{4x(3-x) - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{x(12 - 5x)}{2\sqrt{3-x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = \frac{12}{5} = 2.4$.- На интервале $(-\infty, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На интервале $(0, 2.4)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На интервале $(2.4, 3)$ $y' < 0$, функция убывает.Следовательно, $x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.Точка $x=2.4$ - точка локального максимума, $y(2.4) = (2.4)^2 \sqrt{3-2.4} = 5.76\sqrt{0.6} = \frac{144\sqrt{15}}{125} \approx 4.47$.В точке $x=3$ производная не определена. $\lim_{x \to 3^-} y' = -\infty$, касательная к графику в этой точке вертикальна.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную:$y'' = \left(\frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}}\right)' = \frac{(12-10x)2\sqrt{3-x} - (12x-5x^2)(-\frac{1}{\sqrt{3-x}})}{4(3-x)} = \frac{2(12-10x)(3-x) + (12x-5x^2)}{4(3-x)\sqrt{3-x}} = \frac{15x^2-72x+72}{4(3-x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2-72x+72=0 \implies 5x^2-24x+24=0$.$x = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. В область определения входит только $x_1 = \frac{12 - 2\sqrt{6}}{5} \approx 1.42$.- На интервале $(-\infty, 1.42)$ $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).- На интервале $(1.42, 3)$ $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).$x \approx 1.42$ - точка перегиба.

7. Построение графика. На основе проведенного анализа строим график функции. Для проверки правильности построений рекомендуется использовать программу "Живая геометрия".

Ответ: Функция определена при $x \le 3$. Пересекает оси в точках $(0,0)$ и $(3,0)$. Имеет локальный минимум в $(0,0)$ и локальный максимум в $(2.4, \approx 4.47)$. Убывает на $(-\infty, 0) \cup (2.4, 3)$, возрастает на $(0, 2.4)$. Имеет точку перегиба при $x \approx 1.42$. График начинается из $+\infty$ слева, проходит через точки экстремумов и заканчивается в точке $(3,0)$ с вертикальной касательной.

2) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{2+x}$.

1. Область определения. $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$. $D(y) = [-2, +\infty)$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична, функция ни четная, ни нечетная. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x^2\sqrt{2+x} = 0$, откуда $x=0$ или $x=-2$. Точки $(0,0)$ и $(-2,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to +\infty} x^2\sqrt{2+x} = +\infty$, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x(2+x) + x^2}{2\sqrt{2+x}} = \frac{8x + 5x^2}{2\sqrt{2+x}} = \frac{x(5x+8)}{2\sqrt{2+x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = -\frac{8}{5} = -1.6$.- На $(-2, -1.6)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На $(-1.6, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На $(0, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.$x=-2$ - точка минимума (граничная), $y(-2)=0$.$x=-1.6$ - точка локального максимума, $y(-1.6) = (-1.6)^2\sqrt{2-1.6} = 2.56\sqrt{0.4} = \frac{64\sqrt{10}}{125} \approx 1.62$.$x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.В точке $x=-2$ $\lim_{x \to -2^+} y' = +\infty$, касательная вертикальна.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = \left(\frac{5x^2+8x}{2\sqrt{2+x}}\right)' = \frac{15x^2+48x+32}{4(2+x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2+48x+32=0$.$x = \frac{-24 \pm 4\sqrt{6}}{15}$. В область определения входит $x_1 = \frac{-24 + 4\sqrt{6}}{15} \approx -0.95$.- На $(-2, -0.95)$ $y'' < 0$, график выпуклый.- На $(-0.95, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.$x \approx -0.95$ - точка перегиба.

7. Построение графика. На основе анализа строим график. Правильность можно проверить в "Живой геометрии".

Ответ: Функция определена при $x \ge -2$. Пересекает оси в $(-2,0)$ и $(0,0)$. Имеет локальный максимум в $(-1.6, \approx 1.62)$ и локальный минимум в $(0,0)$. Возрастает на $(-2, -1.6) \cup (0, +\infty)$, убывает на $(-1.6, 0)$. Точка перегиба при $x \approx -0.95$. График начинается в точке $(-2,0)$ с вертикальной касательной, проходит через экстремумы и уходит в $+\infty$.

3) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{4-x}$.

1. Область определения. $4-x \ge 0 \implies x \le 4$. $D(y) = (-\infty, 4]$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична, функция ни четная, ни нечетная. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x=0$ или $x=4$. Точки $(0,0)$ и $(4,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to -\infty} x^2\sqrt{4-x} = +\infty$, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x(4-x) - x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{16x - 5x^2}{2\sqrt{4-x}} = \frac{x(16-5x)}{2\sqrt{4-x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = \frac{16}{5} = 3.2$.- На $(-\infty, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На $(0, 3.2)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На $(3.2, 4)$ $y' < 0$, функция убывает.$x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.$x=3.2$ - точка локального максимума, $y(3.2) = (3.2)^2\sqrt{4-3.2} = 10.24\sqrt{0.8} = \frac{512\sqrt{5}}{125} \approx 9.16$.В точке $x=4$ касательная вертикальна ($\lim_{x \to 4^-} y' = -\infty$).

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = \left(\frac{16x-5x^2}{2\sqrt{4-x}}\right)' = \frac{15x^2-96x+128}{4(4-x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2-96x+128=0$.$x = \frac{48 \pm 8\sqrt{6}}{15}$. В область определения входит $x_1 = \frac{48 - 8\sqrt{6}}{15} \approx 1.89$.- На $(-\infty, 1.89)$ $y'' > 0$, график вогнутый.- На $(1.89, 4)$ $y'' < 0$, график выпуклый.$x \approx 1.89$ - точка перегиба.

7. Построение графика. Строим график на основе анализа, проверяем в "Живой геометрии".

Ответ: Функция определена при $x \le 4$. Пересекает оси в $(0,0)$ и $(4,0)$. Локальный минимум в $(0,0)$, локальный максимум в $(3.2, \approx 9.16)$. Убывает на $(-\infty, 0) \cup (3.2, 4)$, возрастает на $(0, 3.2)$. Точка перегиба при $x \approx 1.89$. График приходит из $+\infty$, проходит через экстремумы и заканчивается в $(4,0)$ с вертикальной касательной.

4) Исследуем функцию $y = x^2 \sqrt{3+x}$.

1. Область определения. $3+x \ge 0 \implies x \ge -3$. $D(y) = [-3, +\infty)$.

2. Свойства функции. Область определения несимметрична, функция ни четная, ни нечетная. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0,0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x=0$ или $x=-3$. Точки $(0,0)$ и $(-3,0)$.

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to +\infty} x^2\sqrt{3+x} = +\infty$, поэтому горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = \frac{4x(3+x) + x^2}{2\sqrt{3+x}} = \frac{12x + 5x^2}{2\sqrt{3+x}} = \frac{x(5x+12)}{2\sqrt{3+x}}$.Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x = -\frac{12}{5} = -2.4$.- На $(-3, -2.4)$ $y' > 0$, функция возрастает.- На $(-2.4, 0)$ $y' < 0$, функция убывает.- На $(0, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.$x=-3$ - точка минимума (граничная), $y(-3)=0$.$x=-2.4$ - точка локального максимума, $y(-2.4) = (-2.4)^2\sqrt{3-2.4} = 5.76\sqrt{0.6} = \frac{144\sqrt{15}}{125} \approx 4.47$.$x=0$ - точка локального минимума, $y(0)=0$.В точке $x=-3$ касательная вертикальна ($\lim_{x \to -3^+} y' = +\infty$).

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = \left(\frac{5x^2+12x}{2\sqrt{3+x}}\right)' = \frac{15x^2+72x+72}{4(3+x)^{3/2}}$.Точки перегиба ($y''=0$): $15x^2+72x+72=0 \implies 5x^2+24x+24=0$.$x = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. В область определения входит $x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{6}}{5} \approx -1.42$.- На $(-3, -1.42)$ $y'' < 0$, график выпуклый.- На $(-1.42, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.$x \approx -1.42$ - точка перегиба.

7. Построение графика. Строим график по результатам анализа, проверяем в "Живой геометрии".

Ответ: Функция определена при $x \ge -3$. Пересекает оси в $(-3,0)$ и $(0,0)$. Локальный максимум в $(-2.4, \approx 4.47)$, локальный минимум в $(0,0)$. Возрастает на $(-3, -2.4) \cup (0, +\infty)$, убывает на $(-2.4, 0)$. Точка перегиба при $x \approx -1.42$. График начинается в $(-3,0)$ с вертикальной касательной, проходит через экстремумы и уходит в $+\infty$.