Номер 50.15, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функции $y = f(x)$ (50.15–50.17):

50.15. 1) $y = \frac{1 + 2x}{x^2 + 2}$;

2) $y = \frac{2 - x}{x^2 + 5}$;

3) $y = \frac{3 + x}{x^2 + 3}$.

1) $y = \frac{1 + 2x}{x^2 + 2}$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби $x^2 + 2$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2 + 2 \ge 2$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x = 0 \Rightarrow y = \frac{1 + 2 \cdot 0}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения $(0; 1/2)$.

Пересечение с осью Ox: $y = 0 \Rightarrow \frac{1 + 2x}{x^2 + 2} = 0 \Rightarrow 1 + 2x = 0 \Rightarrow x = -1/2$. Точка пересечения $(-1/2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{1 + 2(-x)}{(-x)^2 + 2} = \frac{1 - 2x}{x^2 + 2}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. График не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.

Найдем горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 2x}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1/x + 2)}{x^2(1 + 2/x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1/x + 2}{1 + 2/x^2} = 0$.

Следовательно, $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

5. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную:$y' = \left(\frac{1 + 2x}{x^2 + 2}\right)' = \frac{(1+2x)'(x^2+2) - (1+2x)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2} = \frac{2(x^2+2) - (1+2x)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^2+4-2x-4x^2}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x^2+x-2)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \Rightarrow -2(x+2)(x-1)=0$. Отсюда $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах:

- при $x \in (-\infty; -2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (-2; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка локального минимума. $y(-2) = \frac{1+2(-2)}{(-2)^2+2} = \frac{-3}{6} = -0.5$. Точка минимума $(-2; -0.5)$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка локального максимума. $y(1) = \frac{1+2(1)}{1^2+2} = \frac{3}{3} = 1$. Точка максимума $(1; 1)$.

6. Построение графика.

Собираем все данные:

- Точки пересечения с осями: $(-0.5; 0)$ и $(0; 0.5)$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

- Локальный минимум: $(-2; -0.5)$.

- Локальный максимум: $(1; 1)$.

График приходит из $-\infty$ слева, приближаясь к оси Ox сверху ($y>0$ для больших отрицательных $x$, но это не так, $y<0$ для $x<-0.5$), убывает до точки минимума $(-2; -0.5)$. Затем возрастает, пересекая оси в точках $(-0.5; 0)$ и $(0; 0.5)$, достигает максимума в точке $(1; 1)$, после чего снова убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox справа ($y \to 0^+$ при $x \to +\infty$).

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Функция убывает на интервалах $(-\infty; -2]$ и $[1; +\infty)$, и возрастает на интервале $[-2; 1]$. Точка локального минимума $(-2; -0.5)$, точка локального максимума $(1; 1)$. График пересекает ось Ox в точке $(-0.5; 0)$ и ось Oy в точке $(0; 0.5)$.

2) $y = \frac{2 - x}{x^2 + 5}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель $x^2 + 5$ всегда больше или равен 5, поэтому он никогда не равен нулю. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x = 0 \Rightarrow y = \frac{2 - 0}{0^2 + 5} = \frac{2}{5}$. Точка пересечения $(0; 2/5)$.

Пересечение с осью Ox: $y = 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x^2 + 5} = 0 \Rightarrow 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка пересечения $(2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{2 - (-x)}{(-x)^2 + 5} = \frac{2 + x}{x^2 + 5}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - x}{x^2 + 5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(2/x - 1)}{x^2(1 + 5/x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2/x - 1}{1 + 5/x^2} = 0$.

Прямая $y = 0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{2-x}{x^2+5}\right)' = \frac{(-1)(x^2+5) - (2-x)(2x)}{(x^2+5)^2} = \frac{-x^2-5-4x+2x^2}{(x^2+5)^2} = \frac{x^2-4x-5}{(x^2+5)^2} = \frac{(x-5)(x+1)}{(x^2+5)^2}$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0$. Отсюда $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.

Определим знаки производной:

- при $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (-1; 5)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (5; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y(-1) = \frac{2 - (-1)}{(-1)^2 + 5} = \frac{3}{6} = 0.5$. Точка максимума $(-1; 0.5)$.

В точке $x = 5$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $y(5) = \frac{2 - 5}{5^2 + 5} = \frac{-3}{30} = -0.1$. Точка минимума $(5; -0.1)$.

6. Построение графика.

Сводка данных:

- Точки пересечения с осями: $(2; 0)$ и $(0; 0.4)$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

- Локальный максимум: $(-1; 0.5)$.

- Локальный минимум: $(5; -0.1)$.

График приходит из $-\infty$, приближаясь к асимптоте $y=0$ снизу ($y \to 0^-$). Возрастает до точки максимума $(-1; 0.5)$. Затем убывает, пересекая оси в точках $(0; 0.4)$ и $(2; 0)$, достигает минимума в точке $(5; -0.1)$. После этого снова возрастает, приближаясь к асимптоте $y=0$ снизу ($y \to 0^-$ при $x \to +\infty$).

Ответ: График функции — кривая с горизонтальной асимптотой $y=0$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$, и убывает на интервале $[-1; 5]$. Точка локального максимума $(-1; 0.5)$, точка локального минимума $(5; -0.1)$. График пересекает ось Ox в точке $(2; 0)$ и ось Oy в точке $(0; 0.4)$.

3) $y = \frac{3 + x}{x^2 + 3}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель $x^2 + 3 \ge 3$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x = 0 \Rightarrow y = \frac{3 + 0}{0^2 + 3} = 1$. Точка пересечения $(0; 1)$.

Пересечение с осью Ox: $y = 0 \Rightarrow 3 + x = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка пересечения $(-3; 0)$.

3. Четность и нечетность.

$y(-x) = \frac{3 - x}{(-x)^2 + 3} = \frac{3 - x}{x^2 + 3}$. Функция общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 + x}{x^2 + 3} = 0$. Прямая $y = 0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{3+x}{x^2+3}\right)' = \frac{(1)(x^2+3) - (3+x)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - 6x - 2x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2-6x+3}{(x^2+3)^2}$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow -x^2 - 6x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 3 = 0$.

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

$x_1 = -3 - 2\sqrt{3} \approx -6.46$.

$x_2 = -3 + 2\sqrt{3} \approx 0.46$.

Знак производной определяется параболой $f(x)=-x^2-6x+3$, ветви которой направлены вниз.

- при $x \in (-\infty; -3-2\sqrt{3})$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (-3-2\sqrt{3}; -3+2\sqrt{3})$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (-3+2\sqrt{3}; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка $x_1 = -3 - 2\sqrt{3}$ — точка локального минимума. $y(-3 - 2\sqrt{3}) = \frac{3-3-2\sqrt{3}}{(-3-2\sqrt{3})^2+3} = \frac{-2\sqrt{3}}{9+12\sqrt{3}+12+3} = \frac{-2\sqrt{3}}{24+12\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{6(2+\sqrt{3})} = \frac{3-2\sqrt{3}}{6} \approx -0.077$.

Точка $x_2 = -3 + 2\sqrt{3}$ — точка локального максимума. $y(-3 + 2\sqrt{3}) = \frac{3-3+2\sqrt{3}}{(-3+2\sqrt{3})^2+3} = \frac{2\sqrt{3}}{9-12\sqrt{3}+12+3} = \frac{2\sqrt{3}}{24-12\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6(2-\sqrt{3})} = \frac{3+2\sqrt{3}}{6} \approx 1.077$.

Экстремумы: минимум в точке $(-3-2\sqrt{3}; \frac{3-2\sqrt{3}}{6})$, максимум в точке $(-3+2\sqrt{3}; \frac{3+2\sqrt{3}}{6})$.

6. Построение графика.

Сводка данных:

- Точки пересечения с осями: $(-3; 0)$ и $(0; 1)$.

- Горизонтальная асимптота: $y=0$.

- Локальный минимум: $\approx (-6.46; -0.077)$.

- Локальный максимум: $\approx (0.46; 1.077)$.

График приближается к асимптоте $y=0$ слева ($y \to 0^-$). Убывает до точки минимума $\approx (-6.46; -0.077)$. Затем возрастает, пересекая оси в точках $(-3; 0)$ и $(0; 1)$, достигает максимума в точке $\approx (0.46; 1.077)$. После этого убывает, приближаясь к асимптоте $y=0$ справа ($y \to 0^+$).

Ответ: График функции — кривая с горизонтальной асимптотой $y=0$. Функция убывает на интервалах $(-\infty; -3-2\sqrt{3}]$ и $[-3+2\sqrt{3}; +\infty)$, и возрастает на интервале $[-3-2\sqrt{3}; -3+2\sqrt{3}]$. Точка локального минимума $(-3-2\sqrt{3}; \frac{3-2\sqrt{3}}{6})$ (приблизительно $(-6.46; -0.08)$). Точка локального максимума $(-3+2\sqrt{3}; \frac{3+2\sqrt{3}}{6})$ (приблизительно $(0.46; 1.08)$). График пересекает ось Ox в точке $(-3; 0)$ и ось Oy в точке $(0; 1)$.