Номер 50.21, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.21. Исследуйте функцию и постройте ее график. Проверьте правильность построения графика, используя программу “Живая геометрия”:

1) $y = x + \sin x;$

2) $y = \cos 2x - \sin x;$

3) $y = \sin^2 x + \cos x;$

4) $y = \sin 2x + \cos x.$

1) $y = x + \sin x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как функции $y=x$ и $y=\sin x$ определены на всей числовой прямой. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. Проверим значение функции в точке $-x$: $y(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -y(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Периодичность. Функция не является периодической, так как содержит слагаемое $x$, которое не является периодической функцией.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = 0 + \sin 0 = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies x + \sin x = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$, так как производная функции $y' = 1 + \cos x \ge 0$, то есть функция строго возрастает (кроме отдельных точек) и может пересекать ось абсцисс не более одного раза.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. Найдем первую производную: $y' = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies 1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$. Отсюда $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $y' = 1 + \cos x \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, функция является неубывающей на всей области определения. Так как производная обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция является строго возрастающей. Экстремумов у функции нет.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (1 + \cos x)' = -\sin x$. Приравняем вторую производную к нулю: $y''=0 \implies -\sin x = 0 \implies x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Определим знаки второй производной на интервалах:

• При $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $\sin x > 0$, значит $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $\sin x < 0$, значит $y'' > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

7. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} (x + \sin x) = \pm\infty$. Проверим наличие наклонных асимптот $y = kx + b$. $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+\sin x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1$. $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x+\sin x - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \sin x$. Данный предел не существует. Следовательно, наклонных асимптот нет. Однако график функции колеблется вокруг прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y=x+\sin x$ представляет собой монотонно возрастающую кривую, симметричную относительно начала координат. График не имеет экстремумов и асимптот, но имеет точки перегиба в точках $(\pi k, \pi k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$. В точках $x = \pi + 2\pi k$ касательная к графику горизонтальна. График колеблется вокруг прямой $y=x$, находясь в полосе между прямыми $y=x-1$ и $y=x+1$.

2) $y = \cos(2x) - \sin x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \cos(-2x) - \sin(-x) = \cos(2x) + \sin x$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Периодичность. Период функции $\cos(2x)$ равен $T_1 = 2\pi/2 = \pi$. Период функции $\sin x$ равен $T_2 = 2\pi$. Наименьший общий период $T = \text{НОК}(\pi, 2\pi) = 2\pi$. Функция периодическая с периодом $2\pi$. Исследование достаточно провести на отрезке $[0, 2\pi]$.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \cos 0 - \sin 0 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies \cos(2x) - \sin x = 0$. Используем формулу $\cos(2x) = 1-2\sin^2 x$. $1 - 2\sin^2 x - \sin x = 0 \implies 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. Пусть $t = \sin x$, $t \in [-1, 1]$. $2t^2+t-1=0 \implies t_1=1/2, t_2=-1$. $\sin x = 1/2 \implies x = \pi/6 + 2\pi k, x = 5\pi/6 + 2\pi k$. $\sin x = -1 \implies x = 3\pi/2 + 2\pi k$. На отрезке $[0, 2\pi]$ корни: $\pi/6, 5\pi/6, 3\pi/2$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $y' = -2\sin(2x) - \cos x = -4\sin x \cos x - \cos x = -\cos x(4\sin x + 1)$. $y' = 0 \implies \cos x = 0$ или $\sin x = -1/4$. На отрезке $[0, 2\pi]$ критические точки:

• $\cos x = 0 \implies x=\pi/2, x=3\pi/2$.
• $\sin x = -1/4 \implies x = \arcsin(-1/4)+2\pi k$ и $x = \pi-\arcsin(-1/4)+2\pi k$. Пусть $\alpha=\arcsin(1/4)$. Тогда $x = 2\pi-\alpha$ и $x=\pi+\alpha$.

• $x \in (0, \pi/2)$: $y' < 0$ (убывает).
• $x \in (\pi/2, \pi+\alpha)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (\pi+\alpha, 3\pi/2)$: $y' < 0$ (убывает).
• $x \in (3\pi/2, 2\pi-\alpha)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (2\pi-\alpha, 2\pi)$: $y' < 0$ (убывает).

• $x=\pi/2$: точка минимума. $y(\pi/2) = \cos(\pi) - \sin(\pi/2) = -1-1 = -2$.
• $x=\pi+\alpha$: точка максимума. $y = \cos(2(\pi+\alpha))-\sin(\pi+\alpha) = \cos(2\alpha)+\sin\alpha = 1-2\sin^2\alpha+\sin\alpha = 1-2(-1/4)^2+(-1/4) = 1-1/8-1/4 = 5/8$. Ошибка в вычислении. $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha=1/4$. $\cos(2(\pi+\alpha))=\cos(2\alpha)=1-2\sin^2\alpha=1-2(1/4)^2=7/8$. $y=7/8-(-1/4)=9/8=1.125$.
• $x=3\pi/2$: точка минимума. $y(3\pi/2) = \cos(3\pi) - \sin(3\pi/2) = -1 - (-1) = 0$.
• $x=2\pi-\alpha$: точка максимума. $y = \cos(2(2\pi-\alpha))-\sin(2\pi-\alpha) = \cos(-2\alpha)-\sin(-\alpha)=\cos(2\alpha)+\sin\alpha=9/8$.

6. Выпуклость и точки перегиба. $y'' = (-2\sin(2x) - \cos x)' = -4\cos(2x) + \sin x$. $y''=0 \implies -4(1-2\sin^2 x) + \sin x = 0 \implies 8\sin^2 x + \sin x - 4 = 0$. Решения $\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{129}}{16}$. Это дает 4 точки перегиба на периоде.

7. Асимптоты. Нет, так как функция периодическая.

Ответ: График функции является периодической кривой с периодом $2\pi$. На отрезке $[0, 2\pi]$ график начинается в точке $(0, 1)$, убывает до точки минимума $(\pi/2, -2)$, затем возрастает до точки максимума $(\pi+\arcsin(1/4), 9/8)$, убывает до точки минимума $(3\pi/2, 0)$, возрастает до точки максимума $(2\pi-\arcsin(1/4), 9/8)$ и убывает до конца периода. Область значений функции $[-2, 9/8]$.

3) $y = \sin^2 x + \cos x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \sin^2(-x) + \cos(-x) = (-\sin x)^2 + \cos x = \sin^2 x + \cos x = y(x)$. Функция является четной. График симметричен относительно оси $Oy$.

3. Периодичность. Период $\sin^2 x$ равен $\pi$, период $\cos x$ равен $2\pi$. Наименьший общий период $T=2\pi$.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sin^2 0 + \cos 0 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies \sin^2 x + \cos x = 0 \implies 1-\cos^2 x + \cos x = 0 \implies \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$. Пусть $t=\cos x$, $t \in [-1, 1]$. $t^2 - t - 1 = 0 \implies t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Корень $t = \frac{1+\sqrt{5}}{2} > 1$ не подходит. $\cos x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$. Решения $x = \pm \arccos(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 2\pi k$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $y' = 2\sin x \cos x - \sin x = \sin x (2\cos x - 1)$. $y' = 0 \implies \sin x = 0$ или $\cos x = 1/2$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ критические точки: $x = -\pi, 0, \pi$ и $x = \pm \pi/3$.

• $x \in (-\pi, -\pi/3)$: $y' < 0$ (убывает).
• $x \in (-\pi/3, 0)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (0, \pi/3)$: $y' > 0$ (возрастает).
• $x \in (\pi/3, \pi)$: $y' < 0$ (убывает).

• $x = \pm \pi/3$: точки максимума. $y(\pm\pi/3) = (\sin(\pm\pi/3))^2 + \cos(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^2 + 1/2 = 3/4+1/2 = 5/4 = 1.25$.
• $x=0$: точка минимума. $y(0) = 1$.
• $x=\pm\pi$: точки минимума. $y(\pm\pi) = \sin^2(\pm\pi) + \cos(\pm\pi) = 0 - 1 = -1$.

6. Выпуклость и точки перегиба. $y'' = (2\cos^2 x - \cos x - \sin^2 x)' = (2\cos^2 x - \cos x - (1-\cos^2x))' = (3\cos^2 x - \cos x - 1)'$. Ошибка. $y'' = (\sin x (2\cos x - 1))' = \cos x(2\cos x-1)+\sin x(-2\sin x)=2\cos^2 x - \cos x - 2\sin^2 x = 4\cos^2 x - \cos x - 2$. $y''=0 \implies \cos x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$. Это дает 4 точки перегиба на периоде.

7. Асимптоты. Нет.

Ответ: График функции является четной периодической кривой с периодом $2\pi$. Область значений $[-1, 5/4]$. На отрезке $[-\pi, \pi]$ график имеет точки максимума $(\pm\pi/3, 5/4)$ и точки минимума $(0, 1)$ и $(\pm\pi, -1)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

4) $y = \sin(2x) + \cos x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \sin(-2x) + \cos(-x) = -\sin(2x) + \cos x$. Функция общего вида.

3. Периодичность. Период $\sin(2x)$ равен $\pi$, период $\cos x$ равен $2\pi$. Наименьший общий период $T=2\pi$.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sin 0 + \cos 0 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• С осью $Ox$: $y=0 \implies \sin(2x) + \cos x = 0 \implies 2\sin x\cos x + \cos x = 0 \implies \cos x(2\sin x + 1) = 0$. На $[0, 2\pi]$ корни: $\cos x=0 \implies x=\pi/2, 3\pi/2$; $\sin x = -1/2 \implies x=7\pi/6, 11\pi/6$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $y' = 2\cos(2x) - \sin x = 2(1-2\sin^2 x) - \sin x = -4\sin^2 x - \sin x + 2$. $y'=0 \implies 4\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$. Пусть $t=\sin x$, $t \in [-1, 1]$. $4t^2+t-2=0 \implies t = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$. $t_1 = \frac{-1+\sqrt{33}}{8} \approx 0.593$, $t_2 = \frac{-1-\sqrt{33}}{8} \approx -0.843$. $y' > 0$ при $t_2 < \sin x < t_1$. $y' < 0$ при $\sin x < t_2$ или $\sin x > t_1$. Экстремумы достигаются при $\sin x = t_1$ и $\sin x = t_2$.

• $x_1 = \arcsin(t_1) \approx 0.635$ (max), $y(x_1) \approx 1.76$.
• $x_2 = \pi - \arcsin(t_1) \approx 2.507$ (min), $y(x_2) \approx -1.76$.
• $x_3 = \pi - \arcsin(t_2) \approx 4.145$ (max), $y(x_3) \approx 0.37$.
• $x_4 = 2\pi + \arcsin(t_2) \approx 5.28$ (min), $y(x_4) \approx -0.37$.

6. Выпуклость и точки перегиба. $y'' = -4\sin(2x) - \cos x = -8\sin x \cos x - \cos x = -\cos x(8\sin x+1)$. $y''=0 \implies \cos x = 0$ или $\sin x = -1/8$. Точки перегиба на $[0, 2\pi]$: $x=\pi/2, x=3\pi/2$, $x=\pi+\arcsin(1/8)$, $x=2\pi-\arcsin(1/8)$. В точках $x=\pi/2$ и $x=3\pi/2$ значения функции равны нулю, т.е. $(\pi/2, 0)$ и $(3\pi/2, 0)$ являются точками перегиба и одновременно корнями функции.

7. Асимптоты. Нет.

Ответ: График функции является периодической кривой с периодом $2\pi$. Область значений примерно $[-1.76, 1.76]$. На отрезке $[0, 2\pi]$ график начинается в точке $(0, 1)$, имеет два максимума (один абсолютный, другой локальный) и два минимума (один абсолютный, другой локальный). Точки пересечения с осью абсцисс: $\pi/2, 7\pi/6, 3\pi/2, 11\pi/6$. Точки $(\pi/2, 0)$ и $(3\pi/2, 0)$ являются точками перегиба.