Номер 50.23, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.23. Решите уравнение:

1) $sin^2x - cosx = 1;$

2) $sin^2x + 2cosx = 0.$

1) $ \sin^2x - \cos x = 1 $

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, из которого выразим $ \sin^2x = 1 - \cos^2x $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ (1 - \cos^2x) - \cos x = 1 $

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$ 1 - \cos^2x - \cos x - 1 = 0 $

$ -\cos^2x - \cos x = 0 $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ \cos^2x + \cos x = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\cos x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

а) $ \cos x = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x + 1 = 0 $, что равносильно $ \cos x = -1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin^2x + 2\cos x = 0 $

Как и в предыдущем задании, заменим $ \sin^2x $ на $ 1 - \cos^2x $ с помощью основного тригонометрического тождества.

Подставим в уравнение:

$ (1 - \cos^2x) + 2\cos x = 0 $

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно $ \cos x $:

$ -\cos^2x + 2\cos x + 1 = 0 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ \cos^2x - 2\cos x - 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $. Учитывая, что область значений косинуса $ [-1, 1] $, должно выполняться условие $ |t| \le 1 $.

Получаем квадратное уравнение:

$ t^2 - 2t - 1 = 0 $

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $:

$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} $

$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} $

$ t = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} $

$ t = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} $

$ t = 1 \pm \sqrt{2} $

Мы получили два возможных значения для $ t $:

а) $ t_1 = 1 + \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ t_1 \approx 2.414 $. Это значение больше 1, поэтому оно не входит в область значений косинуса. Следовательно, уравнение $ \cos x = 1 + \sqrt{2} $ не имеет решений.

б) $ t_2 = 1 - \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ t_2 \approx -0.414 $. Это значение находится в промежутке $ [-1, 1] $, поэтому оно является допустимым корнем.

Вернемся к замене $ \cos x = t $:

$ \cos x = 1 - \sqrt{2} $

Общее решение для такого уравнения имеет вид:

$ x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \arccos(1 - \sqrt{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.