Номер 50.25, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.25. Найдите наибольшее или наименьшее значение функции

$y = f(x):$

1) $f(x) = x^2 - 8x + 14;$

2) $f(x) = 8x^2 - 5x - 3.$

1) Функция $f(x) = x^2 - 8x + 14$ является квадратичной. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($a=1 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего значения. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$ и $b=-8$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в функцию. Это и будет наименьшее значение функции.

$y_{min} = f(x_0) = f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 14 = 16 - 32 + 14 = -2$.

Альтернативный способ — выделение полного квадрата:

$f(x) = x^2 - 8x + 14 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 14 = (x - 4)^2 - 2$.

Так как выражение $(x - 4)^2$ всегда больше или равно нулю, его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x=4$). Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $0 - 2 = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2.

2) Функция $f(x) = 8x^2 - 5x - 3$ также является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен 8, что больше нуля ($a=8 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего.

Найдем координаты вершины параболы. Для данной функции $a=8$ и $b=-5$.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 8} = \frac{5}{16}$.

Наименьшее значение функции — это ордината вершины:

$y_{min} = f(x_0) = f(\frac{5}{16}) = 8 \cdot (\frac{5}{16})^2 - 5 \cdot (\frac{5}{16}) - 3$.

$y_{min} = 8 \cdot \frac{25}{256} - \frac{25}{16} - 3 = \frac{8 \cdot 25}{256} - \frac{25}{16} - 3 = \frac{25}{32} - \frac{25}{16} - 3$.

Приведем дроби к общему знаменателю 32:

$y_{min} = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{16 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 32}{1 \cdot 32} = \frac{25}{32} - \frac{50}{32} - \frac{96}{32} = \frac{25 - 50 - 96}{32} = \frac{-25 - 96}{32} = -\frac{121}{32}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{121}{32}$.