Номер 51.6, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.6.1) Число 25 разложите на два слагаемых так, чтобы значение их произведения было наибольшим.

2) Число 16 разложите на два слагаемых так, чтобы значение суммы их квадратов было наибольшим.

3) На какие два положительных слагаемых надо разложить число 147, чтобы значение произведения одного из них на квадратный корень из другого было наибольшим?

1) Пусть число 25 разложено на два слагаемых $x$ и $y$.

Тогда $x + y = 25$. Отсюда можно выразить $y = 25 - x$.

Нам нужно найти наибольшее значение их произведения $P = x \cdot y$. Подставим выражение для $y$:

$P(x) = x \cdot (25 - x) = 25x - x^2$.

Эта функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине. Абсциссу вершины параболы $ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 25$.

$x_0 = -25 / (2 \cdot (-1)) = 12,5$.

Таким образом, одно из слагаемых равно 12,5. Найдем второе слагаемое:

$y = 25 - x = 25 - 12,5 = 12,5$.

Следовательно, чтобы произведение было наибольшим, число 25 нужно разложить на два равных слагаемых.

Ответ: 12,5 и 12,5.

2) Пусть число 16 разложено на два слагаемых $x$ и $y$.

Тогда $x + y = 16$, откуда $y = 16 - x$.

Нам нужно найти наибольшее значение суммы их квадратов $S = x^2 + y^2$. Подставим выражение для $y$:

$S(x) = x^2 + (16 - x)^2 = x^2 + (256 - 32x + x^2) = 2x^2 - 32x + 256$.

Эта функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Такая функция не имеет наибольшего значения на всей числовой оси. Однако, если рассматривать разложение на неотрицательные слагаемые (что обычно подразумевается в таких задачах), то $x \ge 0$ и $y = 16 - x \ge 0$, что задает отрезок $x \in [0, 16]$.

На отрезке квадратичная функция с ветвями вверх достигает своего наибольшего значения на одном из концов отрезка.

Найдем значения функции $S(x)$ на концах отрезка $[0, 16]$:

При $x = 0$: $y = 16$, $S(0) = 0^2 + 16^2 = 256$.

При $x = 16$: $y = 0$, $S(16) = 16^2 + 0^2 = 256$.

Наименьшее значение функция принимает в вершине $x_0 = -(-32) / (2 \cdot 2) = 8$, где $S(8) = 8^2+8^2 = 128$.

Таким образом, наибольшее значение суммы квадратов достигается, когда слагаемые равны 0 и 16.

Ответ: 0 и 16.

3) Пусть число 147 разложено на два положительных слагаемых $x$ и $y$.

$x > 0, y > 0$.

$x + y = 147$, откуда $y = 147 - x$. Из условия $y > 0$ следует, что $147 - x > 0$, то есть $x < 147$. Таким образом, $x \in (0, 147)$.

Нам нужно найти наибольшее значение произведения одного из них на квадратный корень из другого. Обозначим эту величину как $F$. Есть два варианта: $x\sqrt{y}$ или $y\sqrt{x}$. Рассмотрим первый случай и найдем, при каких $x$ и $y$ он максимален.

$F(x) = x\sqrt{147 - x}$.

Чтобы найти максимум функции, найдем ее производную и приравняем к нулю.

$F'(x) = (x \cdot (147 - x)^{1/2})' = 1 \cdot \sqrt{147-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{147-x}} \cdot (-1) = \sqrt{147-x} - \frac{x}{2\sqrt{147-x}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{2(147-x) - x}{2\sqrt{147-x}} = \frac{294 - 2x - x}{2\sqrt{147-x}} = \frac{294 - 3x}{2\sqrt{147-x}}$.

Приравняем производную к нулю:

$294 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 294 \Rightarrow x = 98$.

Точка $x=98$ принадлежит интервалу $(0, 147)$. Проверим знак производной: при $x < 98$ производная $F'(x) > 0$ (функция возрастает), а при $x > 98$ производная $F'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $x=98$ является точкой максимума.

Найдем второе слагаемое:

$y = 147 - x = 147 - 98 = 49$.

Таким образом, искомые слагаемые — это 98 и 49. При этом значение выражения $x\sqrt{y}$ равно $98\sqrt{49} = 98 \cdot 7 = 686$, а значение выражения $y\sqrt{x}$ равно $49\sqrt{98} = 49 \cdot 7\sqrt{2} = 343\sqrt{2} \approx 485$. Наибольшее значение достигается, когда первое слагаемое равно 98, а второе 49.

Ответ: 98 и 49.