Номер 51.8, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.8.1) $f(x) = 2x^2 - 5x + 6, [-2; 4];$

2) $f(x) = -3x^2 - x + 5, [0, 3].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 6$ на отрезке $[-2; 4]$, воспользуемся следующим алгоритмом.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (2x^2 - 5x + 6)' = 4x - 5$.

2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x - 5 = 0$

$4x = 5$

$x = \frac{5}{4} = 1.25$.

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка заданному отрезку $[-2; 4]$.

Точка $x = 1.25$ принадлежит отрезку $[-2; 4]$, так как выполняется неравенство $-2 \le 1.25 \le 4$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$f(1.25) = 2(1.25)^2 - 5(1.25) + 6 = 2 \cdot 1.5625 - 6.25 + 6 = 3.125 - 6.25 + 6 = 2.875$.

$f(-2) = 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = 2 \cdot 4 + 10 + 6 = 8 + 10 + 6 = 24$.

$f(4) = 2(4)^2 - 5(4) + 6 = 2 \cdot 16 - 20 + 6 = 32 - 20 + 6 = 18$.

5. Сравним полученные значения: $2.875$, $24$ и $18$.

Наименьшее из этих значений равно $2.875$, а наибольшее равно $24$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 2.875$, наибольшее значение $y_{max} = 24$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -3x^2 - x + 5$ на отрезке $[0; 3]$, проделаем аналогичные шаги.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (-3x^2 - x + 5)' = -6x - 1$.

2. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-6x - 1 = 0$

$-6x = 1$

$x = -\frac{1}{6}$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку $[0; 3]$.

Точка $x = -\frac{1}{6}$ не принадлежит отрезку $[0; 3]$, так как $-\frac{1}{6} < 0$.

4. Поскольку на данном отрезке нет критических точек, функция является монотонной. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=3$:

$f(0) = -3(0)^2 - 0 + 5 = 5$.

$f(3) = -3(3)^2 - 3 + 5 = -3 \cdot 9 - 3 + 5 = -27 - 3 + 5 = -25$.

5. Сравним полученные значения: $5$ и $-25$.

Наименьшее из этих значений равно $-25$, а наибольшее равно $5$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -25$, наибольшее значение $y_{max} = 5$.