Номер 51.15, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.15. 1) Докажите, что среди всех равнобедренных треугольников, имеющих периметр $P$, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

2) Участок прямоугольной формы площадью в 800 $м^2$ огорожен забором с трех сторон. Найдите наименьшую длину забора.

3) Периметр участка в форме прямоугольной трапеции с острым углом в $30^\circ$ равен 24 м. Найдите наибольшую площадь участка.

4) Участок имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь участка равна 12,5 $м^2$. При каком значении радиуса полукруга периметр участка будет наименьшим?

1) Пусть равнобедренный треугольник имеет боковые стороны $a$ и основание $b$. Его периметр $P = 2a + b$. Отсюда можно выразить боковую сторону через основание и периметр: $a = \frac{P - b}{2}$.Для существования треугольника необходимо выполнение неравенств: $a+a > b \Rightarrow 2a > b \Rightarrow P-b > b \Rightarrow P > 2b \Rightarrow b < P/2$. Также $a > 0$, что дает $P-b > 0 \Rightarrow b < P$. И $b>0$. Таким образом, $0 < b < P/2$.Площадь треугольника $S$ найдем по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $h$ — высота, опущенная на основание $b$.Высоту найдем по теореме Пифагора: $h = \sqrt{a^2 - (\frac{b}{2})^2}$.Подставим выражение для $a$:$h = \sqrt{(\frac{P-b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{(P-b)^2 - b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{P^2 - 2Pb + b^2 - b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{P^2 - 2Pb}$.Тогда площадь $S$ как функция от $b$ имеет вид:$S(b) = \frac{1}{2}b \cdot \frac{1}{2}\sqrt{P(P - 2b)} = \frac{b}{4}\sqrt{P(P - 2b)}$.Чтобы найти максимум функции $S(b)$, удобно исследовать на максимум ее квадрат $S^2(b)$, так как $S(b) > 0$.$f(b) = S^2(b) = \frac{b^2}{16}P(P-2b) = \frac{P}{16}(Pb^2 - 2b^3)$.Найдем производную функции $f(b)$ по переменной $b$:$f'(b) = \frac{P}{16}(2Pb - 6b^2)$.Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$\frac{P}{16}(2Pb - 6b^2) = 0$.Так как $P \neq 0$ и $b \neq 0$, получаем:$2P - 6b = 0 \Rightarrow b = \frac{2P}{6} = \frac{P}{3}$.Эта точка принадлежит интервалу $(0, P/2)$.Найдем боковую сторону $a$:$a = \frac{P - b}{2} = \frac{P - P/3}{2} = \frac{2P/3}{2} = \frac{P}{3}$.Получили, что $a = b = P/3$. Это означает, что все стороны треугольника равны, то есть треугольник является равносторонним.Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:$f''(b) = \frac{P}{16}(2P - 12b)$.$f''(P/3) = \frac{P}{16}(2P - 12\frac{P}{3}) = \frac{P}{16}(2P - 4P) = -\frac{2P^2}{16} = -\frac{P^2}{8} < 0$.Так как вторая производная отрицательна, точка $b = P/3$ является точкой максимума.Таким образом, среди всех равнобедренных треугольников с заданным периметром $P$ наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Ответ: Доказано.

2) Пусть стороны прямоугольного участка равны $x$ и $y$. Площадь участка $S = xy = 800$ м².Забор установлен с трех сторон. Возможны два случая:1) Забор состоит из двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$.Длина забора $L = 2x + y$.Из формулы площади выразим $y = \frac{800}{x}$.Подставим в формулу длины забора: $L(x) = 2x + \frac{800}{x}$.Для нахождения наименьшей длины найдем производную функции $L(x)$ и приравняем ее к нулю:$L'(x) = 2 - \frac{800}{x^2}$.$L'(x) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{800}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^2 = 800 \Rightarrow x^2 = 400$.Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x = 20$ м.Тогда $y = \frac{800}{20} = 40$ м.Наименьшая длина забора в этом случае: $L = 2 \cdot 20 + 40 = 80$ м.2) Забор состоит из одной стороны длиной $x$ и двух сторон длиной $y$.Длина забора $L = x + 2y$.$L(x) = x + 2 \cdot \frac{800}{x} = x + \frac{1600}{x}$.$L'(x) = 1 - \frac{1600}{x^2}$.$L'(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 1600 \Rightarrow x = 40$ м.Тогда $y = \frac{800}{40} = 20$ м.Наименьшая длина забора: $L = 40 + 2 \cdot 20 = 80$ м.В обоих случаях результат одинаков. Для проверки, что это минимум, можно использовать вторую производную. Например, для первого случая $L''(x) = \frac{1600}{x^3}$. При $x=20$, $L''(20) > 0$, что подтверждает, что точка является точкой минимума.

Ответ: 80 м.

3) Пусть дана прямоугольная трапеция с основаниями $a$ и $b$ ($a > b$), высотой $h$ и наклонной боковой стороной $c$. Острый угол равен $30^\circ$.Из свойств трапеции имеем следующие соотношения:$h = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow c = 2h$.$a - b = c \cdot \cos(30^\circ) = 2h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = h\sqrt{3}$.Периметр трапеции $P = a + b + h + c = 24$ м.Выразим $a$ и $c$ через $b$ и $h$: $a = b + h\sqrt{3}$ и $c = 2h$.Подставим в формулу периметра:$(b + h\sqrt{3}) + b + h + 2h = 24$.$2b + 3h + h\sqrt{3} = 24$.$2b = 24 - h(3 + \sqrt{3})$.Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$.Выразим сумму оснований $a+b$:$a+b = (b + h\sqrt{3}) + b = 2b + h\sqrt{3}$.Подставим сюда выражение для $2b$:$a+b = (24 - h(3 + \sqrt{3})) + h\sqrt{3} = 24 - 3h - h\sqrt{3} + h\sqrt{3} = 24 - 3h$.Теперь запишем площадь как функцию от высоты $h$:$S(h) = \frac{24 - 3h}{2}h = 12h - \frac{3}{2}h^2$.Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее максимум находится в вершине. Найдем его через производную:$S'(h) = 12 - 3h$.$S'(h) = 0 \Rightarrow 12 - 3h = 0 \Rightarrow h = 4$ м.Найдем наибольшую площадь, подставив $h=4$ в формулу площади:$S(4) = 12(4) - \frac{3}{2}(4^2) = 48 - \frac{3}{2} \cdot 16 = 48 - 24 = 24$ м².

Ответ: 24 м².

4) Пусть участок состоит из прямоугольника со сторонами $l$ и $w$ и полукруга, построенного на стороне $w$. Тогда диаметр полукруга равен $w$, а его радиус $r = w/2$.Площадь участка $A$ складывается из площади прямоугольника и площади полукруга:$A = l \cdot w + \frac{1}{2}\pi r^2 = l \cdot (2r) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12,5$ м².Периметр участка $P$ — это длина его границы. Он состоит из трех сторон прямоугольника (две по $l$ и одна $w=2r$) и длины дуги полукруга ($\pi r$):$P = 2l + w + \pi r = 2l + 2r + \pi r = 2l + r(2+\pi)$.Из формулы площади выразим $l$ через $r$:$2lr = 12,5 - \frac{1}{2}\pi r^2 \Rightarrow l = \frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r^2}{4r} = \frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r}{4}$.Подставим это выражение в формулу периметра, чтобы получить функцию $P(r)$:$P(r) = 2\left(\frac{12,5}{2r} - \frac{\pi r}{4}\right) + r(2+\pi) = \frac{12,5}{r} - \frac{\pi r}{2} + 2r + \pi r = \frac{12,5}{r} + 2r + \frac{\pi r}{2} = \frac{12,5}{r} + r\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$.Найдем производную $P'(r)$ для нахождения минимума:$P'(r) = -\frac{12,5}{r^2} + \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$.Приравняем производную к нулю:$-\frac{12,5}{r^2} + \frac{4+\pi}{2} = 0$.$\frac{12,5}{r^2} = \frac{4+\pi}{2}$.$r^2 = \frac{12,5 \cdot 2}{4+\pi} = \frac{25}{4+\pi}$.$r = \sqrt{\frac{25}{4+\pi}} = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$.Вторая производная $P''(r) = \frac{25}{r^3}$ положительна для $r>0$, следовательно, найденное значение $r$ соответствует минимуму периметра.

Ответ: $r = \frac{5}{\sqrt{4+\pi}}$ м.