Номер 51.17, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.17.

1) $f(x) = 2 + \frac{6x}{x^2 + 4}$, $[0; 1];$

2) $f(x) = -1 - \frac{x-1}{x^2 + 2}$, $[0; 1].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2 + \frac{6x}{x^2 + 4}$ на отрезке $[0; 1]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Для этого найдем производную функции.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ для дроби $\frac{6x}{x^2+4}$:

$f'(x) = (2)' + (\frac{6x}{x^2+4})' = 0 + \frac{(6x)'(x^2+4) - 6x(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{6(x^2+4) - 6x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{6x^2+24-12x^2}{(x^2+4)^2} = \frac{24-6x^2}{(x^2+4)^2}$.

Далее найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $f'(x)=0$.

$\frac{24-6x^2}{(x^2+4)^2} = 0$

Это уравнение равносильно тому, что числитель равен нулю, так как знаменатель $(x^2+4)^2$ всегда положителен.

$24-6x^2 = 0$

$6x^2 = 24$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли эти точки заданному отрезку $[0; 1]$. Очевидно, что ни $x=2$, ни $x=-2$ не входят в этот отрезок.

Поскольку на интервале $(0; 1)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$.

При $x=0$:

$f(0) = 2 + \frac{6 \cdot 0}{0^2 + 4} = 2 + 0 = 2$.

При $x=1$:

$f(1) = 2 + \frac{6 \cdot 1}{1^2 + 4} = 2 + \frac{6}{5} = 2 + 1.2 = 3.2$.

Сравнивая полученные значения $f(0)=2$ и $f(1)=3.2$, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно 2, а наибольшее — 3.2.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = 2$, наибольшее значение $f_{наиб} = 3.2$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -1 - \frac{x-1}{x^2 + 2}$ на отрезке $[0; 1]$, найдем ее производную.

$f'(x) = (-1)' - (\frac{x-1}{x^2+2})' = 0 - \frac{(x-1)'(x^2+2) - (x-1)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2} = - \frac{1(x^2+2) - (x-1)(2x)}{(x^2+2)^2} = - \frac{x^2+2 - 2x^2+2x}{(x^2+2)^2} = - \frac{-x^2+2x+2}{(x^2+2)^2} = \frac{x^2-2x-2}{(x^2+2)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x)=0$.

$\frac{x^2-2x-2}{(x^2+2)^2} = 0$

$x^2-2x-2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Получаем две критические точки: $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$.

Приблизительные значения корней: $x_1 \approx 1 + 1.732 = 2.732$ и $x_2 \approx 1 - 1.732 = -0.732$. Ни одна из этих точек не принадлежит заданному отрезку $[0; 1]$.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$.

При $x=0$:

$f(0) = -1 - \frac{0-1}{0^2 + 2} = -1 - \frac{-1}{2} = -1 + 0.5 = -0.5$.

При $x=1$:

$f(1) = -1 - \frac{1-1}{1^2 + 2} = -1 - \frac{0}{3} = -1$.

Сравнивая полученные значения $f(0)=-0.5$ и $f(1)=-1$, заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно -1, а наибольшее — -0.5.

Ответ: наименьшее значение $f_{наим} = -1$, наибольшее значение $f_{наиб} = -0.5$.