Номер 51.14, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.14.

1) Площадь прямоугольника составляет $25 \, \text{см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

2) Поле прямоугольной формы имеет площадь $3600 \, \text{м}^2$. Каковы должны быть размеры поля, чтобы на его ограждение ушло наименьшее количество материала?

3) Участок в форме параллелограмма с острым углом в $30^\circ$ имеет площадь $8 \, \text{м}^2$. Найдите наименьшее значение периметра участка.

1) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S = ab$, а периметр $P = 2(a+b)$.

По условию, $S = 25$ см², значит $ab = 25$. Отсюда можно выразить одну сторону через другую: $b = \frac{25}{a}$.

Подставим это выражение в формулу периметра: $P(a) = 2(a + \frac{25}{a})$.

Чтобы найти наименьшее значение периметра, нужно найти наименьшее значение функции $P(a)$. Это можно сделать с помощью неравенства о средних (неравенство Коши). Для двух положительных чисел $a$ и $\frac{25}{a}$ их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$\frac{a + \frac{25}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{25}{a}}$

$a + \frac{25}{a} \ge 2\sqrt{25}$

$a + \frac{25}{a} \ge 2 \cdot 5 = 10$.

Тогда периметр $P = 2(a + \frac{25}{a}) \ge 2 \cdot 10 = 20$ см.

Наименьшее значение периметра равно 20 см и достигается тогда, когда выполняется равенство в неравенстве о средних, то есть когда $a = \frac{25}{a}$.

Отсюда $a^2 = 25$, и так как $a$ – длина стороны, $a > 0$, то $a = 5$ см.

Тогда $b = \frac{25}{5} = 5$ см.

Таким образом, чтобы периметр был наименьшим, прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 5 см на 5 см.

2) Эта задача аналогична предыдущей. Пусть стороны прямоугольного поля равны $a$ и $b$. Количество материала на ограждение определяется периметром поля, $P = 2(a+b)$. Площадь поля $S = ab = 3600$ м².

Мы ищем наименьшее значение периметра $P$ при заданном значении площади $S$. Как было показано в предыдущей задаче, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Следовательно, стороны поля должны быть равны: $a = b$.

Подставим это в формулу площади: $a \cdot a = 3600$, или $a^2 = 3600$.

Найдем сторону квадрата: $a = \sqrt{3600} = 60$ м.

Значит, размеры поля должны быть 60 м на 60 м.

Ответ: размеры поля должны быть 60 м на 60 м.

3) Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними равен $\alpha = 30^\circ$.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = ab \sin\alpha$.

По условию $S = 8$ м², значит $ab \sin(30^\circ) = 8$.

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $ab \cdot \frac{1}{2} = 8$, откуда $ab = 16$.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. Нам нужно найти наименьшее значение этой величины при условии $ab=16$.

Снова воспользуемся неравенством о средних для положительных чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

Подставим известное значение произведения $ab=16$:

$a+b \ge 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$.

Тогда периметр $P = 2(a+b) \ge 2 \cdot 8 = 16$ м.

Наименьшее значение периметра равно 16 м. Оно достигается, когда $a=b$.

Из условия $ab=16$ при $a=b$ получаем $a^2=16$, откуда $a=4$ м.

Таким образом, наименьший периметр будет у ромба со стороной 4 м и острым углом 30°.

Ответ: наименьшее значение периметра участка равно 16 м.