Номер 51.20, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.20. Постройте график функции $y = f(x)$ и найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = -x^2 - 3x$;

2) $f(x) = x^3 + 3x$.

1) $f(x) = -x^2 - 3x$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что является отрицательным числом, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки.

Вершина параболы:

Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Координата $y$ вершины:

$y_v = f(-1.5) = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1.5; 2.25)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $f(0) = -0^2 - 3 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

С осью OX (при $f(x)=0$): $-x^2 - 3x = 0 \implies -x(x+3)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=-3$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.

График функции — это парабола с вершиной в точке $(-1.5; 2.25)$, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(-3; 0)$, с ветвями, направленными вниз.

Промежутки возрастания и убывания можно определить по положению вершины или с помощью производной.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 3x)' = -2x - 3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

$-2x - 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$

На промежутке $(-\infty; -1.5)$ производная $f'(x) > 0$ (например, $f'(-2) = -2(-2)-3 = 1 > 0$), следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(-1.5; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$ (например, $f'(0) = -2(0)-3 = -3 < 0$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1.5]$ и убывает на промежутке $[-1.5; +\infty)$.

2) $f(x) = x^3 + 3x$

Данная функция является кубической. Область её определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Для построения графика найдем точки пересечения с осями.

При $x=0$, $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0 = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.

При $f(x)=0$, $x^3 + 3x = 0 \implies x(x^2+3)=0$. Уравнение $x^2+3=0$ не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть равно $-3$. Следовательно, единственная точка пересечения с осями — это $(0; 0)$.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$

Определим знак производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), поэтому $3x^2 \ge 0$. Таким образом, $f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3$ для любого действительного значения $x$.

Поскольку производная функции всегда положительна ($f'(x) > 0$), функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Промежутков убывания у функции нет.

График функции проходит через начало координат $(0; 0)$ и монотонно возрастает на всей числовой прямой. Для более точного построения можно найти несколько точек: $f(1)=4$, $f(-1)=-4$.

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.