Номер 51.13, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51.13.

1) $f(x) = x + \sqrt{x}, [1; 4];$

2) $f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x}}, [4; 9].$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x + \sqrt{x}$ на отрезке $[1; 4]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Область определения функции $x \ge 0$, наш отрезок $[1; 4]$ полностью входит в эту область.

Представим функцию в виде $f(x) = x + x^{1/2}$.

Производная функции: $f'(x) = (x + x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Найти критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная $f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ определена для всех $x > 0$. На отрезке $[1; 4]$ она существует.

Приравняем производную к нулю: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда является положительной величиной для $x > 0$, а значит, сумма $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда больше 1.

Поскольку критических точек внутри отрезка нет (и производная на отрезке положительна, что означает, что функция возрастает), наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка.

3. Вычислить значения функции на концах отрезка $[1; 4]$.

Значение в точке $x = 1$: $f(1) = 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.

Значение в точке $x = 4$: $f(4) = 4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.

4. Сравнить полученные значения.

Среди полученных значений $2$ и $6$ наименьшим является $2$, а наибольшим — $6$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно 2, а наибольшее — 6.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$ на отрезке $[4; 9]$, выполним те же действия.

1. Найти производную функции. Область определения функции $x > 0$, наш отрезок $[4; 9]$ полностью входит в эту область.

Представим функцию в виде $f(x) = x - x^{-1/2}$.

Производная функции: $f'(x) = (x - x^{-1/2})' = 1 - (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2}x^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

2. Найти критические точки функции.

Производная $f'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$ определена для всех $x > 0$. На отрезке $[4; 9]$ она существует.

Приравняем производную к нулю: $1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как $\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ всегда положительно для $x > 0$, и, следовательно, $1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} > 1$.

Критических точек внутри отрезка нет. Поскольку производная положительна на всем отрезке, функция является возрастающей. Значит, наименьшее значение будет в начале отрезка, а наибольшее — в конце.

3. Вычислить значения функции на концах отрезка $[4; 9]$.

Значение в точке $x = 4$: $f(4) = 4 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 4 - \frac{1}{2} = 3.5$.

Значение в точке $x = 9$: $f(9) = 9 - \frac{1}{\sqrt{9}} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

4. Сравнить полученные значения.

Сравним $3.5$ и $\frac{26}{3}$. Так как $\frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$, то $3.5 < \frac{26}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[4; 9]$ равно $3.5$, а наибольшее — $\frac{26}{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[4; 9]$ равно 3.5, а наибольшее — $\frac{26}{3}$.