Вопросы, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Всегда ли наименьшее значение функции совпадает с ее минимумом, а наибольшее — с максимумом? Приведите примеры.

2. Почему для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции надо находить производную функции и критические точки?

1. Нет, не всегда. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке — это глобальные характеристики, в то время как минимум и максимум — это локальные. Важно различать эти понятия:

Минимум (локальный минимум) — это значение функции в точке, в некоторой окрестности которой все другие значения функции не меньше этого. Аналогично, максимум (локальный максимум) — это значение функции в точке, в некоторой окрестности которой все другие значения функции не больше этого. У функции на отрезке может быть несколько локальных экстремумов (минимумов и максимумов).

Наименьшее и наибольшее значения функции — это самое маленькое и самое большое значения, которые функция принимает на всем заданном отрезке.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке могут достигаться как в точках локального экстремума, так и на концах этого отрезка. Поэтому локальный максимум не обязательно является наибольшим значением, а локальный минимум — наименьшим.

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 12x$ на отрезке $[-3, 5]$.

1. Найдем ее локальные экстремумы. Для этого найдем производную и критические точки:

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$.

Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат отрезку $[-3, 5]$.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума. Значение функции: $f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$. Таким образом, локальный максимум равен $16$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума. Значение функции: $f(2) = 2^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$. Таким образом, локальный минимум равен $-16$.

2. Теперь вычислим значения функции на концах отрезка $[-3, 5]$:

$f(-3) = (-3)^3 - 12(-3) = -27 + 36 = 9$.

$f(5) = 5^3 - 12(5) = 125 - 60 = 65$.

3. Сравним все полученные значения: локальный максимум $16$, локальный минимум $-16$, значения на концах $9$ и $65$.

Самое маленькое из этих чисел — $-16$. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно $-16$, и оно совпало с локальным минимумом.

Самое большое из этих чисел — $65$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно $65$. Оно достигается на правом конце отрезка ($x=5$), а не в точке локального максимума, где значение было всего $16$.

Этот пример наглядно показывает, что наибольшее значение функции может не совпадать с ее локальным максимумом.

Ответ: Нет, не всегда. Наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке может достигаться на его концах, и эти значения могут быть, соответственно, больше любого локального максимума или меньше любого локального минимума.

2. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке необходимо находить ее производную и критические точки, потому что именно в этих точках (а также на концах отрезка) могут находиться искомые значения. Это следует из фундаментальных теорем математического анализа.

Во-первых, согласно Теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Это гарантирует, что решение у задачи всегда есть.

Во-вторых, согласно Теореме Ферма, если функция имеет в некоторой внутренней точке $x_0$ отрезка локальный экстремум (минимум или максимум) и в этой точке существует производная, то эта производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Из этих теорем следует, что точки, в которых непрерывная функция может принимать наибольшее или наименьшее значение на отрезке, могут быть только двух типов: либо это концы отрезка (точки $a$ и $b$), либо это внутренние точки отрезка, в которых достигается локальный экстремум.

Точки второго типа, как следует из теоремы Ферма, являются критическими точками. Напомним, что критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой ее производная равна нулю или не существует.

Таким образом, чтобы найти все возможные точки, в которых может быть достигнуто наибольшее или наименьшее значение, мы должны составить список "подозреваемых" точек. В этот список входят: (а) концы заданного отрезка; (б) критические точки функции, которые находятся внутри этого отрезка.

Процедура нахождения производной и критических точек — это систематический способ выявить всех "кандидатов" на экстремум внутри отрезка. Если проигнорировать этот шаг, можно легко пропустить точку локального максимума или минимума, в которой функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение на всем отрезке. Поэтому, чтобы гарантированно найти верный ответ, мы должны вычислить значения функции во всех этих точках-кандидатах и сравнить их между собой.

Ответ: Производную и критические точки необходимо находить для того, чтобы выявить все внутренние точки отрезка, в которых функция может достигать своего экстремального (наибольшего или наименьшего) значения. Вместе с концами отрезка эти точки составляют полный список "кандидатов", из которых путем сравнения значений функции выбирается искомое наибольшее и наименьшее значение.