Номер 50.17, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.17.1) $y = \frac{x^3}{x+1}$;

2) $y = \frac{x^3}{1-x}$;

3) $y = \frac{2x^3}{x-1}$;

4) $y = \frac{3x^3}{2-x}$.

1) $y = \frac{x^3}{x+1}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{(-x)^3}{-x+1} = \frac{-x^3}{1-x}$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной). Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{0^3}{0+1} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \implies \frac{x^3}{x+1} = 0 \implies x^3 = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = -1$.

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{x+1} = \frac{-1}{-0} = +\infty$.

$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{x+1} = \frac{-1}{+0} = -\infty$.

- Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(x+1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x+1} = \infty$.

Так как предел не является конечным числом, наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $y' = \left(\frac{x^3}{x+1}\right)' = \frac{3x^2(x+1) - x^3 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{3x^3 + 3x^2 - x^3}{(x+1)^2} = \frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2(2x+3)}{(x+1)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies x^2(2x+3)=0 \implies x=0, x=-1.5$.

- При $x \in (-\infty; -1.5)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (-1.5; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-1.5$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = y(-1.5) = \frac{(-1.5)^3}{-1.5+1} = \frac{-3.375}{-0.5} = 6.75$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{2x^3 + 3x^2}{(x+1)^2}\right)' = \frac{(6x^2+6x)(x+1)^2 - (2x^3+3x^2) \cdot 2(x+1)}{((x+1)^2)^2} = \frac{(6x^2+6x)(x+1) - 2(2x^3+3x^2)}{(x+1)^3} = \frac{6x^3+12x^2+6x - 4x^3-6x^2}{(x+1)^3} = \frac{2x^3+6x^2+6x}{(x+1)^3} = \frac{2x(x^2+3x+3)}{(x+1)^3}$.

Дискриминант выражения $x^2+3x+3$ равен $D=9-12=-3<0$, значит, оно всегда положительно.

$y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).

- При $x \in (-1; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).

- При $x \in (0; +\infty)$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; -1.5]$, возрастает на $[-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$. Точка локального минимума $(-1.5, 6.75)$. График вогнутый на $(-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$, выпуклый на $(-1; 0)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=-1$.

2) $y = \frac{x^3}{1-x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

$1-x \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{(-x)^3}{1-(-x)} = \frac{-x^3}{1+x}$.

Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 1$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{+0} = +\infty$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1-x} = \frac{1}{-0} = -\infty$.

- Наклонные асимптоты: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{1-x} = \infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{x^3}{1-x}\right)' = \frac{3x^2(1-x) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2} = \frac{x^2(3-2x)}{(1-x)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies x^2(3-2x)=0 \implies x=0, x=1.5$.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1; 1.5)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1.5; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=1.5$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(1.5) = \frac{(1.5)^3}{1-1.5} = \frac{3.375}{-0.5} = -6.75$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

$y'' = \left(\frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}\right)' = \frac{(6x-6x^2)(1-x)^2 - (3x^2-2x^3) \cdot 2(1-x)(-1)}{((1-x)^2)^2} = \frac{(6x-6x^2)(1-x)+2(3x^2-2x^3)}{(1-x)^3} = \frac{6x-6x^2-6x^2+6x^3+6x^2-4x^3}{(1-x)^3} = \frac{2x^3-6x^2+6x}{(1-x)^3} = \frac{2x(x^2-3x+3)}{(1-x)^3}$.

$x^2-3x+3>0$ для всех $x$. $y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x \in (0; 1)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 1) \cup (1; 1.5]$, убывает на $[1.5; +\infty)$. Точка локального максимума $(1.5, -6.75)$. График выпуклый на $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, вогнутый на $(0; 1)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=1$.

3) $y = \frac{2x^3}{x-1}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{2(-x)^3}{-x-1} = \frac{-2x^3}{-(x+1)} = \frac{2x^3}{x+1}$.

Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 1$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^3}{x-1} = \frac{2}{-0} = -\infty$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x^3}{x-1} = \frac{2}{+0} = +\infty$.

- Наклонные асимптоты: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x-1} = \infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{2x^3}{x-1}\right)' = \frac{6x^2(x-1) - 2x^3}{(x-1)^2} = \frac{6x^3 - 6x^2 - 2x^3}{(x-1)^2} = \frac{4x^3 - 6x^2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2(2x-3)}{(x-1)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies 2x^2(2x-3)=0 \implies x=0, x=1.5$.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; 1.5)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1.5; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1.5$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = y(1.5) = \frac{2(1.5)^3}{1.5-1} = \frac{2(3.375)}{0.5} = 13.5$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

$y'' = \left(\frac{4x^3 - 6x^2}{(x-1)^2}\right)' = \frac{(12x^2-12x)(x-1)^2 - (4x^3-6x^2) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{12x(x-1)^2 - 2x^2(4x-6)}{(x-1)^3} = \frac{12x(x^2-2x+1) - 8x^3+12x^2}{(x-1)^3} = \frac{4x^3-12x^2+12x}{(x-1)^3} = \frac{4x(x^2-3x+3)}{(x-1)^3}$.

$x^2-3x+3>0$ для всех $x$. $y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

- При $x \in (0; 1)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty; 1) \cup (1; 1.5]$, возрастает на $[1.5; +\infty)$. Точка локального минимума $(1.5, 13.5)$. График вогнутый на $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, выпуклый на $(0; 1)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=1$.

4) $y = \frac{3x^3}{2-x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

$2-x \neq 0 \implies x \neq 2$.

$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$y(-x) = \frac{3(-x)^3}{2-(-x)} = \frac{-3x^3}{2+x}$.

Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x = 2$.

$\lim_{x \to 2^-} \frac{3x^3}{2-x} = \frac{24}{+0} = +\infty$.

$\lim_{x \to 2^+} \frac{3x^3}{2-x} = \frac{24}{-0} = -\infty$.

- Наклонные асимптоты: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2}{2-x} = \infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

$y' = \left(\frac{3x^3}{2-x}\right)' = \frac{9x^2(2-x) - 3x^3(-1)}{(2-x)^2} = \frac{18x^2 - 9x^3 + 3x^3}{(2-x)^2} = \frac{18x^2 - 6x^3}{(2-x)^2} = \frac{6x^2(3-x)}{(2-x)^2}$.

Критические точки: $y'=0 \implies 6x^2(3-x)=0 \implies x=0, x=3$.

- При $x \in (-\infty; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (2; 3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (3; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=3$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(3) = \frac{3(3)^3}{2-3} = \frac{81}{-1} = -81$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

$y'' = \left(\frac{18x^2 - 6x^3}{(2-x)^2}\right)' = \frac{(36x-18x^2)(2-x)^2 - (18x^2-6x^3) \cdot 2(2-x)(-1)}{(2-x)^4} = \frac{(36x-18x^2)(2-x) + 2(18x^2-6x^3)}{(2-x)^3} = \frac{72x-36x^2-36x^2+18x^3 + 36x^2-12x^3}{(2-x)^3} = \frac{6x^3-36x^2+72x}{(2-x)^3} = \frac{6x(x^2-6x+12)}{(2-x)^3}$.

$x^2-6x+12>0$ для всех $x$. $y''=0 \implies x=0$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

- При $x \in (0; 2)$, $y'' > 0$, график вогнутый.

- При $x \in (2; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый.

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0,0)$ — точка перегиба.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 2) \cup (2; 3]$, убывает на $[3; +\infty)$. Точка локального максимума $(3, -81)$. График выпуклый на $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, вогнутый на $(0; 2)$. Точка перегиба $(0,0)$. Вертикальная асимптота $x=2$.