Номер 50.11, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Исследуйте функцию $y = f(x)$ и постройте ее графики (50.11–50.14):

50.11. 1) $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - x^2$; 2) $f(x) = -3x^3 + 2x^2$; 3) $f(x) = -x^3 + 4x^2$.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 - (-x)^2 = -\frac{1}{3}x^3 - x^2$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

С осью $Ox$: $y=0 \implies \frac{1}{3}x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(\frac{1}{3}x - 1) = 0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=3$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Асимптоты.

Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Находим первую производную: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = x^2 - 2x$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2)=0$.

Критические точки: $x_1=0$, $x_2=2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (0, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- При $x \in (2, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Находим вторую производную: $f''(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

Находим точки, где вторая производная равна нулю: $2x - 2 = 0 \implies x = 1$.

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, 1)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- При $x \in (1, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y_{перегиб} = f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.

Точка перегиба: $(1, -2/3)$.

7. Построение графика.

На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки: $(0, 0)$ (локальный максимум, пересечение осей), $(3, 0)$ (пересечение с осью Ox), $(2, -4/3)$ (локальный минимум), $(1, -2/3)$ (точка перегиба). График идет из $-\infty$, возрастает до $(0,0)$, затем убывает до $(2, -4/3)$, меняя направление выпуклости в точке $(1, -2/3)$, и далее возрастает в $+\infty$, пересекая ось абсцисс в точке $(3,0)$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на $(0, 2)$. Точка локального максимума $(0, 0)$, точка локального минимума $(2, -4/3)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1)$ и выпуклый вниз на $(1, +\infty)$. Точка перегиба $(1, -2/3)$. График пересекает оси координат в точках $(0,0)$ и $(3,0)$.

2) $f(x) = -3x^3 + 2x^2$

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = -3(-x)^3 + 2(-x)^2 = 3x^3 + 2x^2$.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью $Ox$: $y=0 \implies -3x^3 + 2x^2 = 0 \implies -x^2(3x - 2) = 0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=2/3$. Точки $(0, 0)$ и $(2/3, 0)$.

4. Асимптоты.

Асимптот нет, так как функция является многочленом.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$f'(x) = (-3x^3 + 2x^2)' = -9x^2 + 4x$.

$f'(x) = 0 \implies -x(9x - 4) = 0$.

Критические точки: $x_1=0$, $x_2=4/9$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0, 4/9)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (4/9, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x=0$ - точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.

$x=4/9$ - точка локального максимума. $y_{max} = f(4/9) = -3(\frac{4}{9})^3 + 2(\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81}(-\frac{12}{9} + 2) = \frac{16}{81}(\frac{6}{9}) = \frac{16}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{243}$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$f''(x) = (-9x^2 + 4x)' = -18x + 4$.

$f''(x) = 0 \implies -18x + 4 = 0 \implies x = 4/18 = 2/9$.

- При $x \in (-\infty, 2/9)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (2/9, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

$x=2/9$ - точка перегиба. $y_{перегиб} = f(2/9) = -3(\frac{2}{9})^3 + 2(\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}(-\frac{6}{9}+2) = \frac{4}{81}(\frac{12}{9}) = \frac{4}{81} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{243}$.

Точка перегиба: $(2/9, 16/243)$.

7. Построение графика.

Ключевые точки: $(0, 0)$ (локальный минимум, пересечение осей), $(2/3, 0)$ (пересечение с Ox), $(4/9, 32/243)$ (локальный максимум), $(2/9, 16/243)$ (точка перегиба). График идет из $+\infty$, убывает до $(0,0)$, затем возрастает до $(4/9, 32/243)$, меняя выпуклость в точке $(2/9, 16/243)$, и далее убывает в $-\infty$, пересекая ось абсцисс в точке $(2/3, 0)$.

Ответ: Функция убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(4/9, +\infty)$, возрастает на $(0, 4/9)$. Точка локального минимума $(0, 0)$, точка локального максимума $(4/9, 32/243)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 2/9)$ и выпуклый вверх на $(2/9, +\infty)$. Точка перегиба $(2/9, 16/243)$. Пересечение с осями в точках $(0,0)$ и $(2/3, 0)$.

3) $f(x) = -x^3 + 4x^2$

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 = x^3 + 4x^2$.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью $Ox$: $y=0 \implies -x^3 + 4x^2 = 0 \implies -x^2(x - 4) = 0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Асимптоты.

Асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

$f'(x) = (-x^3 + 4x^2)' = -3x^2 + 8x$.

$f'(x) = 0 \implies -x(3x - 8) = 0$.

Критические точки: $x_1=0$, $x_2=8/3$.

- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0, 8/3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (8/3, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x=0$ - точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.

$x=8/3$ - точка локального максимума. $y_{max} = f(8/3) = -(\frac{8}{3})^3 + 4(\frac{8}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2(-\frac{8}{3}+4) = \frac{64}{9}(\frac{4}{3}) = \frac{256}{27}$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

$f''(x) = (-3x^2 + 8x)' = -6x + 8$.

$f''(x) = 0 \implies -6x + 8 = 0 \implies x = 8/6 = 4/3$.

- При $x \in (-\infty, 4/3)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (4/3, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

$x=4/3$ - точка перегиба. $y_{перегиб} = f(4/3) = -(\frac{4}{3})^3 + 4(\frac{4}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2(-\frac{4}{3}+4) = \frac{16}{9}(\frac{8}{3}) = \frac{128}{27}$.

Точка перегиба: $(4/3, 128/27)$.

7. Построение графика.

Ключевые точки: $(0, 0)$ (локальный минимум, пересечение осей), $(4, 0)$ (пересечение с Ox), $(8/3, 256/27)$ (локальный максимум, $8/3 \approx 2.67, 256/27 \approx 9.48$), $(4/3, 128/27)$ (точка перегиба, $4/3 \approx 1.33, 128/27 \approx 4.74$). График идет из $+\infty$, убывает до $(0,0)$, затем возрастает до $(8/3, 256/27)$, меняя выпуклость в точке $(4/3, 128/27)$, и далее убывает в $-\infty$, пересекая ось абсцисс в точке $(4, 0)$.

Ответ: Функция убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(8/3, +\infty)$, возрастает на $(0, 8/3)$. Точка локального минимума $(0, 0)$, точка локального максимума $(8/3, 256/27)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый вверх на $(4/3, +\infty)$. Точка перегиба $(4/3, 128/27)$. Пересечение с осями в точках $(0,0)$ и $(4, 0)$.