Номер 50.6, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x):$

1) $f(x) = 4x^3 - 12x + 5;$

2) $f(x) = - \frac{9}{2-x};$

3) $f(x) = 2x^3 - 12x - 1.$

112

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = 4x^3 - 12x + 5$ необходимо найти ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (4x^3 - 12x + 5)' = 12x^2 - 12$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$12x^2 - 12 = 0$

$12(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

- При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$, имеем $f'(-2) = 12(-2)^2 - 12 = 12 \cdot 4 - 12 = 36 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- При $x \in (-1; 1)$, например $x = 0$, имеем $f'(0) = 12(0)^2 - 12 = -12 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, имеем $f'(2) = 12(2)^2 - 12 = 12 \cdot 4 - 12 = 36 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Включая концы промежутков (критические точки), получаем, что функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$ и убывает на $[-1; 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1; 1]$.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = -\frac{9}{2-x}$.

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем производную функции. Перепишем функцию в виде $f(x) = -9(2-x)^{-1}$.

$f'(x) = (-9(2-x)^{-1})' = -9 \cdot (-1)(2-x)^{-2} \cdot (2-x)' = 9(2-x)^{-2} \cdot (-1) = -\frac{9}{(2-x)^2}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений, так как числитель $-9 \neq 0$. Производная не существует в точке $x=2$, но эта точка не принадлежит области определения функции.

Исследуем знак производной на области определения. Знаменатель $(2-x)^2$ всегда положителен при $x \neq 2$. Числитель $-9$ всегда отрицателен. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = 2x^3 - 12x - 1$ найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x^3 - 12x - 1)' = 6x^2 - 12$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$6x^2 - 12 = 0$

$6(x^2 - 2) = 0$

$x^2 = 2$

$x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

- При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, например $x = -2$, имеем $f'(-2) = 6(-2)^2 - 12 = 6 \cdot 4 - 12 = 12 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- При $x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$, например $x = 0$, имеем $f'(0) = 6(0)^2 - 12 = -12 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

- При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, например $x = 2$, имеем $f'(2) = 6(2)^2 - 12 = 6 \cdot 4 - 12 = 12 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Включая концы промежутков, получаем, что функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$ и убывает на $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.