Вопросы, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Перечислите этапы исследования функции с помощью производных. Составьте алгоритм построения графика функции через исследование функции с помощью производных.

2. Для чего при исследовании функции нужен пункт 9?

1. Исследование функции с помощью производных и построение её графика — это комплексная задача, которую удобно выполнять по следующему алгоритму:

1. Нахождение области определения функции. Определяется множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция $f(x)$ существует ($D(f)$). Это фундаментальный шаг, так как все дальнейшие действия проводятся в пределах области определения.

2. Исследование на четность, нечетность и периодичность. Проверяются симметрия и повторяемость функции:

   • Четность: если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
   • Нечетность: если $f(-x) = -f(x)$, функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
   • Периодичность: если существует такое число $T \neq 0$, что $f(x+T) = f(x)$, функция периодическая. В этом случае достаточно исследовать ее на отрезке длиной в один период.

   Эти свойства могут значительно упростить построение графика.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   • С осью ординат ($Oy$): вычисляется значение $f(0)$, если $x=0$ входит в область определения. Точка пересечения — $(0; f(0))$.
   • С осью абсцисс ($Ox$): находятся нули функции путем решения уравнения $f(x)=0$.

4. Нахождение асимптот графика функции.

   • Вертикальные асимптоты: ищутся в точках разрыва функции или на границах области определения. Если $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, то прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой.
   • Наклонные (и частный случай — горизонтальные) асимптоты вида $y=kx+b$: их находят при $x \to \pm\infty$. Коэффициенты вычисляются по формулам: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$. Если $k=0$, асимптота является горизонтальной.

5. Исследование на монотонность и нахождение точек экстремума. Это исследование проводится с помощью первой производной.

   • Находится первая производная $f'(x)$.
   • Определяются критические точки первого рода, в которых $f'(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения. Если $f'(x)>0$, функция возрастает; если $f'(x)<0$, функция убывает.
   • В точках, где производная меняет знак, определяются точки локального максимума (знак меняется с `+` на `−`) и минимума (с `−` на `+`).

6. Исследование на выпуклость (вогнутость) и нахождение точек перегиба. Это исследование проводится с помощью второй производной.

   • Находится вторая производная $f''(x)$.
   • Определяются критические точки второго рода, в которых $f''(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки второй производной на интервалах. Если $f''(x)>0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз); если $f''(x)<0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
   • В точках, где вторая производная меняет знак, находятся точки перегиба графика.

7. Составление сводной таблицы. В таблицу заносят все характерные точки (критические точки, точки перегиба) и интервалы между ними. Для каждого интервала указывают знаки $f'(x)$ и $f''(x)$ и делают вывод о поведении функции $f(x)$ (возрастает/убывает, выпуклая/вогнутая). Это помогает систематизировать все полученные результаты.

8. Вычисление значений функции в характерных точках. Находятся ординаты ($y$) для всех найденных "особых" точек: точек экстремума, точек перегиба, а также точек пересечения с осями. Это дает набор опорных точек для построения графика.

9. Построение графика функции. На координатной плоскости строятся асимптоты. Затем наносятся все вычисленные опорные точки. При необходимости можно вычислить значения функции в нескольких дополнительных (контрольных) точках для большей точности. Опираясь на опорные точки и данные из сводной таблицы о поведении функции, все точки соединяются плавной кривой.

Ответ: Выше представлен развернутый алгоритм исследования функции с помощью производных, состоящий из 9 последовательных этапов, который позволяет на основе аналитических вычислений построить точный график функции.

2. Пункт 9, "Построение графика функции", является завершающим и обобщающим этапом всего исследования. Его необходимость обусловлена тем, что он преобразует набор аналитических данных в наглядный визуальный образ.

• Синтез и визуализация. Предыдущие восемь пунктов дают разрозненную информацию: область определения, симметрии, уравнения асимптот, координаты экстремумов, интервалы монотонности и выпуклости. Сам по себе этот набор данных сложен для восприятия. Пункт 9 объединяет всё это в единое целое — график, который наглядно демонстрирует поведение функции.

• Обеспечение точности. Характерные точки (экстремумы, перегибы, пересечения с осями) формируют "скелет" графика. Однако, чтобы точно нарисовать кривую между этими точками, их часто бывает недостаточно. Например, зная, что функция возрастает от точки минимума до точки максимума, мы не знаем, насколько "круто" она это делает. Вычисление значений функции в одной или нескольких дополнительных (контрольных) точках на ключевых участках позволяет "привязать" кривую к координатной сетке и избежать искажений, делая итоговый график значительно более точным.

• Проверка результатов. Попытка построить график по полученным данным может выявить ошибки, допущенные на предыдущих этапах. Если данные противоречат друг другу (например, точка максимума оказалась ниже точки минимума, или график не уходит к рассчитанной асимптоте), это служит сигналом для перепроверки вычислений.

Таким образом, пункт 9 — это не просто механическое рисование, а ключевой этап анализа, который придает исследованию законченный вид, позволяет наглядно представить результат и проверить корректность всего исследования.

Ответ: Пункт 9 нужен для того, чтобы объединить и визуализировать все результаты, полученные на предыдущих этапах, в единый наглядный образ — график. Кроме того, на этом этапе часто находят дополнительные контрольные точки, которые необходимы для повышения точности и детализации построения, что позволяет избежать схематичного или искаженного изображения функции.