Номер 49.15, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.15. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$;

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$;

3) $y = -\frac{x}{4} - \frac{4}{x}$.

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную и определить знаки производной на интервалах.

1. Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, так как это многочлен. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (2 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

4. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале, подставив в нее любую точку из этого интервала.

• Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем $x = -2$. $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $(-\infty, -1]$.
• Интервал $(-1, 0)$: возьмем $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$. Следовательно, функция убывает на $[-1, 0]$.
• Интервал $(0, 1)$: возьмем $x = 0.5$. $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[0, 1]$.
• Интервал $(1, +\infty)$: возьмем $x = 2$. $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$. Следовательно, функция убывает на $[1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, убывает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$.

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x}{2} + \frac{2}{x})' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{x^2}$

$x^2 = 4$

Критические точки: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

4. Точки $x=-2$, $x=2$ и точка разрыва $x=0$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{x^2-4}{2x^2}$ на этих интервалах. Знак производной зависит только от знака числителя $x^2-4$.

• Интервал $(-\infty, -2)$: возьмем $x = -3$. $y'(-3) = \frac{(-3)^2-4}{2(-3)^2} = \frac{5}{18} > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, -2]$.
• Интервал $(-2, 0)$: возьмем $x = -1$. $y'(-1) = \frac{(-1)^2-4}{2(-1)^2} = \frac{-3}{2} < 0$. Функция убывает на $[-2, 0)$.
• Интервал $(0, 2)$: возьмем $x = 1$. $y'(1) = \frac{1^2-4}{2(1)^2} = \frac{-3}{2} < 0$. Функция убывает на $(0, 2]$.
• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x = 3$. $y'(3) = \frac{3^2-4}{2(3)^2} = \frac{5}{18} > 0$. Функция возрастает на $[2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутках $[-2, 0)$ и $(0, 2]$.

3) $y = \frac{x}{4} - \frac{4}{x}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $y' = (\frac{x}{4} - \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - (-\frac{4}{x^2}) = \frac{1}{4} + \frac{4}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует при $x=0$ (не входит в область определения). Попробуем приравнять производную к нулю:

$\frac{1}{4} + \frac{4}{x^2} = 0$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как левая часть является суммой положительного числа $\frac{1}{4}$ и неотрицательного (в данном случае строго положительного) числа $\frac{4}{x^2}$. Таким образом, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Так как производная функции положительна на всей области определения, функция является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$, промежутков убывания нет.