Номер 49.9, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.9. Найдите промежутки вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба графика функции:

1) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$;

2) $y = \frac{3x + 2}{2 - x}$;

3) $y = \frac{3x - 2}{2 + x}$.

Для нахождения промежутков вогнутости и выпуклости, а также точек перегиба графика функции, необходимо исследовать знак второй производной функции $y''$.

Если $y'' > 0$ на некотором интервале, то на этом интервале функция является вогнутой (график направлен выпуклостью вниз).

Если $y'' < 0$ на некотором интервале, то на этом интервале функция является выпуклой (график направлен выпуклостью вверх).

Точка перегиба — это точка, в которой функция непрерывна и ее график меняет направление выпуклости.

1) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

Область определения функции: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x+2)'(x-1) - (x+2)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+2) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (-3(x-1)^{-2})' = -3 \cdot (-2)(x-1)^{-3} \cdot (x-1)' = 6(x-1)^{-3} = \frac{6}{(x-1)^3}$.

Вторая производная $y''$ никогда не равна нулю. Она не существует в точке $x = 1$, которая не входит в область определения функции.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; 1)$, например $x=0$, имеем $y''(0) = \frac{6}{(0-1)^3} = -6 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла.

При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$, имеем $y''(2) = \frac{6}{(2-1)^3} = 6 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция вогнута.

Так как в точке $x=1$ функция не определена (имеет разрыв), то точек перегиба у графика функции нет.

Ответ: функция выпукла на промежутке $(-\infty; 1)$, вогнута на промежутке $(1; +\infty)$, точек перегиба нет.

2) $y = \frac{3x + 2}{2 - x}$

Область определения функции: $2 - x \neq 0$, то есть $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем первую производную:

$y' = \frac{(3x+2)'(2-x) - (3x+2)(2-x)'}{(2-x)^2} = \frac{3(2-x) - (3x+2)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{6 - 3x + 3x + 2}{(2-x)^2} = \frac{8}{(2-x)^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (8(2-x)^{-2})' = 8 \cdot (-2)(2-x)^{-3} \cdot (2-x)' = -16(2-x)^{-3} \cdot (-1) = \frac{16}{(2-x)^3}$.

Вторая производная $y''$ не равна нулю ни при каких значениях $x$. Она не существует в точке $x = 2$, которая не входит в область определения.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$, имеем $y''(0) = \frac{16}{(2-0)^3} = \frac{16}{8} = 2 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция вогнута.

При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, имеем $y''(3) = \frac{16}{(2-3)^3} = \frac{16}{-1} = -16 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла.

В точке $x=2$ функция не определена, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: функция вогнута на промежутке $(-\infty; 2)$, выпукла на промежутке $(2; +\infty)$, точек перегиба нет.

3) $y = \frac{3x - 2}{2 + x}$

Область определения функции: $2 + x \neq 0$, то есть $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Найдем первую производную:

$y' = \frac{(3x-2)'(2+x) - (3x-2)(2+x)'}{(2+x)^2} = \frac{3(2+x) - (3x-2) \cdot 1}{(2+x)^2} = \frac{6 + 3x - 3x + 2}{(2+x)^2} = \frac{8}{(x+2)^2}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (8(x+2)^{-2})' = 8 \cdot (-2)(x+2)^{-3} \cdot (x+2)' = -16(x+2)^{-3} = \frac{-16}{(x+2)^3}$.

Вторая производная $y''$ не обращается в ноль. Она не существует в точке $x = -2$, которая не принадлежит области определения.

Исследуем знак $y''$ на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; -2)$, например $x=-3$, имеем $y''(-3) = \frac{-16}{(-3+2)^3} = \frac{-16}{-1} = 16 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция вогнута.

При $x \in (-2; +\infty)$, например $x=0$, имеем $y''(0) = \frac{-16}{(0+2)^3} = \frac{-16}{8} = -2 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла.

В точке $x=-2$ функция имеет разрыв, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: функция вогнута на промежутке $(-\infty; -2)$, выпукла на промежутке $(-2; +\infty)$, точек перегиба нет.