Номер 49.8, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.8. Найдите точки перегиба графика функции:

1) $y = (x - 4)^5 + 4(x + 1);$

2) $y = x^4 - 8x^3 + 24x^2.$

1) Чтобы найти точки перегиба графика функции, необходимо выполнить следующие шаги: найти вторую производную, приравнять её к нулю для нахождения потенциальных точек перегиба, а затем проверить, меняет ли вторая производная знак при переходе через эти точки.

Дана функция: $y = (x-4)^5 + 4(x+1)$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции $y'$:

$y' = ((x-4)^5 + 4(x+1))' = ((x-4)^5 + 4x + 4)' = 5(x-4)^4 \cdot (x-4)' + 4 = 5(x-4)^4 + 4$.

2. Находим вторую производную функции $y''$:

$y'' = (5(x-4)^4 + 4)' = 5 \cdot 4(x-4)^3 \cdot (x-4)' + 0 = 20(x-4)^3$.

3. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. В нашем случае $y''$ существует всюду.

$y'' = 0 \implies 20(x-4)^3 = 0$.

Отсюда $x-4=0$, то есть $x=4$.

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точка $x=4$ разбивает числовую ось.

При $x < 4$ (например, $x=3$), $y'' = 20(3-4)^3 = 20(-1)^3 = -20 < 0$. На этом интервале график функции выпуклый вверх (вогнутость направлена вниз).

При $x > 4$ (например, $x=5$), $y'' = 20(5-4)^3 = 20(1)^3 = 20 > 0$. На этом интервале график функции выпуклый вниз (вогнутость направлена вверх).

Поскольку при переходе через точку $x=4$ знак второй производной меняется, то $x=4$ является абсциссой точки перегиба.

5. Находим ординату точки перегиба, подставляя $x=4$ в исходное уравнение функции:

$y(4) = (4-4)^5 + 4(4+1) = 0^5 + 4 \cdot 5 = 20$.

Таким образом, точка перегиба имеет координаты $(4; 20)$.

Ответ: $(4; 20)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^4 - 8x^3 + 24x^2$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции $y'$:

$y' = (x^4 - 8x^3 + 24x^2)' = 4x^3 - 8 \cdot 3x^2 + 24 \cdot 2x = 4x^3 - 24x^2 + 48x$.

2. Находим вторую производную функции $y''$:

$y'' = (4x^3 - 24x^2 + 48x)' = 4 \cdot 3x^2 - 24 \cdot 2x + 48 = 12x^2 - 48x + 48$.

3. Находим потенциальные точки перегиба, приравняв $y''$ к нулю:

$12x^2 - 48x + 48 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 12:

$x^2 - 4x + 4 = 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x-2)^2 = 0$.

Отсюда получаем единственное решение $x=2$.

4. Исследуем знак второй производной $y'' = 12(x-2)^2$ в окрестности точки $x=2$.

Выражение $(x-2)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$ (равно нулю только при $x=2$). Следовательно, вторая производная $y'' = 12(x-2)^2$ также всегда неотрицательна.

При $x < 2$ (например, $x=0$), $y'' = 12(0-2)^2 = 48 > 0$.

При $x > 2$ (например, $x=3$), $y'' = 12(3-2)^2 = 12 > 0$.

Поскольку знак второй производной не меняется при переходе через точку $x=2$, то эта точка не является точкой перегиба. График функции является выпуклым вниз (вогнутым) на всей числовой оси, кроме точки $x=2$, где вторая производная равна нулю.

Следовательно, у данной функции нет точек перегиба.

Ответ: точек перегиба нет.