Номер 49.6, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.6. Найдите точки перегиба функции:

1) $y=(x-2) \cdot (x+1)^2$;

2) $y=(x-1) \cdot (x+2)^2$.

1) $y = (x - 2)(x + 1)^2$

Для нахождения точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную. Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой меняется направление ее выпуклости. Для этого нужно найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, а затем проверить, меняется ли знак второй производной при переходе через эти точки.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Сначала найдем первую производную функции $y'$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = ((x - 2)(x + 1)^2)' = (x - 2)'(x + 1)^2 + (x - 2)((x + 1)^2)'$

$y' = 1 \cdot (x + 1)^2 + (x - 2) \cdot 2(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$y' = (x + 1) \cdot ((x + 1) + 2(x - 2)) = (x + 1)(x + 1 + 2x - 4) = (x + 1)(3x - 3) = 3(x + 1)(x - 1) = 3(x^2 - 1)$

Теперь найдем вторую производную $y''$:

$y'' = (3(x^2 - 1))' = 3 \cdot (2x) = 6x$

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти абсциссы возможных точек перегиба:

$y'' = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$

Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точка $x = 0$ разбивает область определения:

• На интервале $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$, имеем $y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(0; +\infty)$, например при $x = 1$, имеем $y''(1) = 6(1) = 6 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

Поскольку при переходе через точку $x = 0$ знак второй производной меняется, эта точка является абсциссой точки перегиба. Найдем ординату этой точки, подставив $x = 0$ в исходное уравнение функции:

$y(0) = (0 - 2)(0 + 1)^2 = -2 \cdot 1^2 = -2$

Следовательно, точка перегиба функции — $(0; -2)$.

Ответ: $(0; -2)$.

2) $y = (x - 1)(x + 2)^2$

Действуем по тому же алгоритму, что и в первом пункте.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную, используя правило произведения:

$y' = ((x - 1)(x + 2)^2)' = (x - 1)'(x + 2)^2 + (x - 1)((x + 2)^2)'$

$y' = 1 \cdot (x + 2)^2 + (x - 1) \cdot 2(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$y' = (x + 2) \cdot ((x + 2) + 2(x - 1)) = (x + 2)(x + 2 + 2x - 2) = (x + 2)(3x) = 3x^2 + 6x$

Находим вторую производную:

$y'' = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$

Приравняем вторую производную к нулю:

$y'' = 0 \implies 6x + 6 = 0 \implies 6x = -6 \implies x = -1$

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$:

• На интервале $(-\infty; -1)$, например при $x = -2$, имеем $y''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(-1; +\infty)$, например при $x = 0$, имеем $y''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

Так как при переходе через точку $x = -1$ знак второй производной изменяется, это абсцисса точки перегиба. Находим соответствующую ординату:

$y(-1) = (-1 - 1)(-1 + 2)^2 = -2 \cdot 1^2 = -2$

Следовательно, точка перегиба функции — $(-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.