Номер 49.14, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49.14. Найдите экстремумы и координаты точек перегиба графика функции $y = 2x^2 - x^4$. Постройте схематический график функции.

Для исследования функции $y = 2x^2 - x^4$ и построения ее графика выполним следующие шаги: найдем экстремумы, точки перегиба и другие ключевые особенности.

1. Нахождение экстремумов

Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти ее первую производную, приравнять ее к нулю и определить знаки производной на полученных интервалах.

Первая производная функции:

$y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$

Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1)$ (например, при $x = -2$): $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(-1, 0)$ (например, при $x = -0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0, 1)$ (например, при $x = 0.5$): $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1, +\infty)$ (например, при $x = 2$): $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$, функция убывает.

Анализ смены знаков производной показывает:

• В точке $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 0$ знак производной меняется с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2 - 1 = 1$.

$y_{min} = y(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0$.

$y_{max} = y(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: функция имеет локальный минимум в точке $(0, 0)$ и локальные максимумы в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

2. Нахождение координат точек перегиба

Точки перегиба определяют, где меняется направление выпуклости графика. Для их нахождения нужна вторая производная.

Вторая производная функции:

$y'' = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$4 - 12x^2 = 0$

$12x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Отсюда $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, -1/\sqrt{3})$, $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $(1/\sqrt{3}, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -1/\sqrt{3})$ (например, при $x = -1$): $y''(-1) = 4 - 12(-1)^2 = -8 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$ (например, при $x = 0$): $y''(0) = 4 - 12(0)^2 = 4 > 0$, график выпуклый вниз (выгнутый).
• На интервале $(1/\sqrt{3}, +\infty)$ (например, при $x = 1$): $y''(1) = 4 - 12(1)^2 = -8 < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

Поскольку в точках $x = -1/\sqrt{3}$ и $x = 1/\sqrt{3}$ вторая производная меняет знак, это точки перегиба. Найдем их ординаты:

$y(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^4 = 2(\frac{1}{3}) - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.

Ответ: координаты точек перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$.

3. Построение схематического графика

Для построения графика используем полученную информацию:

• Функция является четной ($f(-x) = f(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси OY.
• Точки пересечения с осью OX: $2x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(2-x^2) = 0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{2}$. Точки: $(0,0)$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
• Точка пересечения с осью OY: $y(0)=0$. Точка: $(0,0)$.
• Точки экстремумов: $(-1, 1)$ (максимум), $(1, 1)$ (максимум), $(0, 0)$ (минимум).
• Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (-0.58, 0.56)$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (0.58, 0.56)$.

Схематический график функции $y = 2x^2 - x^4$: