Номер 50.12, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1) $f(x) = \frac{10}{5-x}$;

2) $f(x) = \frac{4}{3+x}$;

3) $f(x) = \frac{2}{1+2x}$.

1) Чтобы разложить функцию $f(x) = \frac{10}{5-x}$ в степенной ряд в окрестности точки $x=0$ (ряд Маклорена), воспользуемся известным разложением для суммы бесконечной геометрической прогрессии: $\frac{b}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} bq^n$, которое сходится при $|q| < 1$.

Преобразуем данную функцию к этому виду. Для этого вынесем в знаменателе 5 за скобки:

$f(x) = \frac{10}{5-x} = \frac{10}{5(1 - \frac{x}{5})} = \frac{2}{1 - \frac{x}{5}}$.

Теперь функция представлена в нужном виде, где $b=2$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{x}{5}$.

Подставим эти значения в формулу для суммы ряда:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2 \cdot \left(\frac{x}{5}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2x^n}{5^n}$.

Этот степенной ряд сходится, когда выполняется условие $|q| < 1$, то есть $|\frac{x}{5}| < 1$, что равносильно $|x| < 5$.

Ответ: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{5^n}x^n$.

2) Для разложения функции $f(x) = \frac{4}{3+x}$ в степенной ряд поступим аналогично. Используем формулу суммы геометрической прогрессии $\frac{b}{1-q} = \sum_{n=0}^{\infty} bq^n$.

Преобразуем функцию к требуемому виду:

$f(x) = \frac{4}{3+x} = \frac{4}{3(1 + \frac{x}{3})} = \frac{4/3}{1 - (-\frac{x}{3})}$.

В данном случае $b = \frac{4}{3}$ и знаменатель прогрессии $q = -\frac{x}{3}$.

Подставим эти значения в формулу ряда:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{3} \left(-\frac{x}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4}{3} \cdot \frac{(-1)^n x^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{3^{n+1}} x^n$.

Ряд сходится при условии $|q| < 1$, то есть $|-\frac{x}{3}| < 1$, что равносильно $|x| < 3$.

Ответ: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{3^{n+1}} x^n$.

3) Разложим функцию $f(x) = \frac{2}{1+2x}$ в степенной ряд, используя тот же метод.

Преобразуем функцию к виду $\frac{b}{1-q}$:

$f(x) = \frac{2}{1+2x} = \frac{2}{1 - (-2x)}$.

Здесь $b=2$ и знаменатель прогрессии $q = -2x$.

Записываем разложение в ряд:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2(-2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2 \cdot (-1)^n 2^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^{n+1} x^n$.

Условие сходимости ряда $|q| < 1$ дает нам $|-2x| < 1$, что равносильно $|x| < \frac{1}{2}$.

Ответ: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^{n+1} x^n$.