Номер 50.10, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.10. 1) $f(x) = 18x - x^3$;

2) $f(x) = -x^3 - 6x$;

3) $f(x) = x^4 - 16$;

4) $f(x) = -x^4 + 4x$.

1) Дана функция $f(x) = 18x - x^3$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (18x - x^3)' = 18 - 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$18 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 18$

$x^2 = 6$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$.

Критические точки $x = -\sqrt{6}$ и $x = \sqrt{6}$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

- На интервале $(-\infty; -\sqrt{6})$, например при $x = -3$: $f'(-3) = 18 - 3(-3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.

- На интервале $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$, например при $x = 0$: $f'(0) = 18 - 3(0)^2 = 18 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(\sqrt{6}; +\infty)$, например при $x = 3$: $f'(3) = 18 - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, функция убывает.

В точке $x = -\sqrt{6}$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума. $x_{min} = -\sqrt{6}$.

В точке $x = \sqrt{6}$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. $x_{max} = \sqrt{6}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$; убывает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6})$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$; $x_{min} = -\sqrt{6}$, $x_{max} = \sqrt{6}$.

2) Дана функция $f(x) = -x^3 - 6x$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (-x^3 - 6x)' = -3x^2 - 6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$-3x^2 - 6 = 0$

$-3x^2 = 6$

$x^2 = -2$.

Данное уравнение не имеет действительных корней, поэтому критических точек нет.

Определим знак производной на всей области определения. Выражение $f'(x) = -3x^2 - 6 = -(3x^2 + 6)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $3x^2 + 6$ всегда положительно. Следовательно, $f'(x)$ всегда отрицательна для любого $x$.

Так как производная функции отрицательна на всей числовой оси, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Экстремумов у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, экстремумов нет.

3) Дана функция $f(x) = x^4 - 16$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (x^4 - 16)' = 4x^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$4x^3 = 0$

$x = 0$.

Критическая точка $x = 0$ разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

- На интервале $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, функция убывает.

- На интервале $(0; +\infty)$, например при $x = 1$: $f'(1) = 4(1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума. $x_{min} = 0$.

Значение функции в этой точке: $f(0) = 0^4 - 16 = -16$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$; возрастает на промежутке $(0; +\infty)$; $x_{min} = 0$.

4) Дана функция $f(x) = -x^4 + 4x$.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (-x^4 + 4x)' = -4x^3 + 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$-4x^3 + 4 = 0$

$4x^3 = 4$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

Критическая точка $x = 1$ разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

- На интервале $(-\infty; 1)$, например при $x = 0$: $f'(0) = -4(0)^3 + 4 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(1; +\infty)$, например при $x = 2$: $f'(2) = -4(2)^3 + 4 = -32 + 4 = -28 < 0$. Следовательно, функция убывает.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. $x_{max} = 1$.

Значение функции в этой точке: $f(1) = -(1)^4 + 4(1) = -1 + 4 = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$; убывает на промежутке $(1; +\infty)$; $x_{max} = 1$.