Номер 50.8, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50.8.1) $f(x) = 48x - x^3$;

2) $f(x) = -x^3 - 27x$;

3) $f(x) = x^4 - 1$;

4) $f(x) = -x^4 + 1$.

1) Для исследования функции $f(x) = 48x - x^3$ на монотонность и экстремумы, выполним следующие действия:

1. Область определения функции. Так как $f(x)$ является многочленом, её область определения — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (48x - x^3)' = 48 - 3x^2$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$48 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 48$

$x^2 = 16$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, +\infty)$.

- На интервале $(-\infty, -4)$, возьмём $x=-5$. $f'(-5) = 48 - 3(-5)^2 = 48 - 75 = -27 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(-4, 4)$, возьмём $x=0$. $f'(0) = 48 - 3(0)^2 = 48 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(4, +\infty)$, возьмём $x=5$. $f'(5) = 48 - 3(5)^2 = 48 - 75 = -27 < 0$. Функция убывает.

5. Найдём точки экстремума.

- В точке $x = -4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(-4) = 48(-4) - (-4)^3 = -192 + 64 = -128$.

- В точке $x = 4$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(4) = 48(4) - (4)^3 = 192 - 64 = 128$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[4, +\infty)$, возрастает на промежутке $[-4, 4]$. Точка минимума: $(-4, -128)$. Точка максимума: $(4, 128)$.

2) Исследуем функцию $f(x) = -x^3 - 27x$ на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (-x^3 - 27x)' = -3x^2 - 27$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-3x^2 - 27 = 0$

$-3x^2 = 27$

$x^2 = -9$.

Уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек.

4. Определим знак производной. Выражение $f'(x) = -3x^2 - 27 = -3(x^2 + 9)$ всегда отрицательно при любом $x \in \mathbb{R}$, так как $x^2 \ge 0$ и, соответственно, $x^2 + 9 > 0$.

5. Поскольку производная $f'(x) < 0$ на всей области определения, функция является монотонно убывающей. Точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция убывает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Исследуем функцию $f(x) = x^4 - 1$ на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^4 - 1)' = 4x^3$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$4x^3 = 0$

$x = 0$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- На интервале $(-\infty, 0)$, возьмём $x=-1$. $f'(-1) = 4(-1)^3 = -4 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(0, +\infty)$, возьмём $x=1$. $f'(1) = 4(1)^3 = 4 > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции: $f(0) = 0^4 - 1 = -1$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Точка минимума: $(0, -1)$.

4) Исследуем функцию $f(x) = -x^4 + 1$ на монотонность и экстремумы.

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (-x^4 + 1)' = -4x^3$.

3. Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-4x^3 = 0$

$x = 0$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

- На интервале $(-\infty, 0)$, возьмём $x=-1$. $f'(-1) = -4(-1)^3 = 4 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0, +\infty)$, возьмём $x=1$. $f'(1) = -4(1)^3 = -4 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. Значение функции: $f(0) = -(0)^4 + 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$. Точка максимума: $(0, 1)$.