Страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Докажите это свойство, используя линию котангенсов (рис. 13.7).

Рис. 13.7

Доказательство свойства линии котангенсов

Задача состоит в том, чтобы доказать, что абсцисса точки пересечения луча $OP_{\alpha}$ с линией котангенсов равна котангенсу угла $\alpha$.

Рассмотрим на координатной плоскости единичную окружность с центром в начале координат $O(0,0)$. Линия котангенсов — это касательная к окружности в точке $(0,1)$, заданная уравнением $y=1$. Точка $P_{\alpha}$ на единичной окружности, которая соответствует углу поворота $\alpha$, имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Прямая, проходящая через начало координат $O$ и точку $P_{\alpha}$, пересекает линию котангенсов в точке $B_{\alpha}$. Поскольку точка $B_{\alpha}$ лежит на прямой $y=1$, ее ордината равна 1. Обозначим ее координаты как $(x_0, 1)$. Наша цель — доказать, что абсцисса этой точки $x_0$ равна $\mathrm{ctg}\,\alpha$.

Для доказательства воспользуемся методом подобия треугольников. Построим два прямоугольных треугольника. Первый треугольник, $\triangle OFB_{\alpha}$, образуется точками $O(0,0)$, $B_{\alpha}(x_0, 1)$ и проекцией точки $B_{\alpha}$ на ось ординат — точкой $F(0,1)$. Катеты этого треугольника — $OF$ и $FB_{\alpha}$. Второй треугольник, $\triangle OGP_{\alpha}$, образуется точками $O(0,0)$, $P_{\alpha}(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и проекцией точки $P_{\alpha}$ на ось ординат — точкой $G(0, \sin\alpha)$. Катеты этого треугольника — $OG$ и $GP_{\alpha}$.

Треугольники $\triangle OFB_{\alpha}$ и $\triangle OGP_{\alpha}$ подобны. У них обоих есть прямой угол (при вершинах $F$ и $G$ соответственно), и они имеют общий острый угол при вершине $O$, так как точки $O$, $P_{\alpha}$ и $B_{\alpha}$ лежат на одной прямой. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно: $ \frac{OF}{OG} = \frac{FB_{\alpha}}{GP_{\alpha}} $

Выразим длины сторон треугольников через координаты. Длина катета $OF$ — это расстояние от $O(0,0)$ до $F(0,1)$, следовательно, $OF = 1$. Длина катета $OG$ — это расстояние от $O(0,0)$ до $G(0, \sin\alpha)$, следовательно, $OG = |\sin\alpha|$. Длина катета $FB_{\alpha}$ — это расстояние от $F(0,1)$ до $B_{\alpha}(x_0, 1)$, следовательно, $FB_{\alpha} = |x_0 - 0| = |x_0|$. Длина катета $GP_{\alpha}$ — это расстояние от $G(0, \sin\alpha)$ до $P_{\alpha}(\cos\alpha, \sin\alpha)$, следовательно, $GP_{\alpha} = |\cos\alpha - 0| = |\cos\alpha|$.

Подставим полученные длины в пропорцию: $ \frac{1}{|\sin\alpha|} = \frac{|x_0|}{|\cos\alpha|} $

Из этого соотношения выразим $|x_0|$: $ |x_0| = \frac{|\cos\alpha|}{|\sin\alpha|} = |\mathrm{ctg}\,\alpha| $

Мы установили, что абсолютные значения $x_0$ и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ равны. Теперь необходимо убедиться, что их знаки также совпадают. Если угол $\alpha$ находится в I или III координатной четверти, то $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ имеют одинаковые знаки, поэтому $\mathrm{ctg}\,\alpha$ является положительным. При таких углах точка $B_{\alpha}$ находится в правой полуплоскости, и ее абсцисса $x_0$ также положительна. Если же угол $\alpha$ находится во II или IV координатной четверти (как показано на рисунке 13.7), то $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ имеют разные знаки, и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ отрицателен. В этом случае точка $B_{\alpha}$ находится в левой полуплоскости, и ее абсцисса $x_0$ также отрицательна. Следовательно, знаки $x_0$ и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ всегда совпадают.

Поскольку и абсолютные величины, и знаки $x_0$ и $\mathrm{ctg}\,\alpha$ совпадают, мы можем заключить, что $x_0 = \mathrm{ctg}\,\alpha$. Свойство доказано.

Ответ: Свойство доказано путем установления подобия треугольников $\triangle OFB_{\alpha}$ и $\triangle OGP_{\alpha}$. Из пропорциональности их катетов следует, что $|x_0| = |\mathrm{ctg}\,\alpha|$. Анализ знаков для всех четырех координатных четвертей показывает, что знак $x_0$ всегда совпадает со знаком $\mathrm{ctg}\,\alpha$, следовательно, $x_0 = \mathrm{ctg}\,\alpha$.

Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$ (48.3–48.5):

48.3. 1) $f(x) = x + 4;$

2) $f(x) = -x + 9;$

3) $f(x) = -5x + 7;$

4) $f(x) = 4x - 11.$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную и определить точки, в которых производная равна нулю или не существует (критические точки). Затем нужно исследовать знак производной в окрестности этих точек. Точка является точкой экстремума (минимума или максимума), если в ней производная меняет знак.

Все представленные функции являются линейными вида $y = kx + b$. Их производная равна угловому коэффициенту $k$.

1) Дана функция $f(x) = x + 4$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x + 4)' = 1$.

Производная функции $f'(x) = 1$ является постоянной и положительной величиной ($1 > 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x) = x + 4$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

2) Дана функция $f(x) = -x + 9$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (-x + 9)' = -1$.

Производная функции $f'(x) = -1$ является постоянной и отрицательной величиной ($-1 < 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция $f(x) = -x + 9$ является строго убывающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

3) Дана функция $f(x) = -5x + 7$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (-5x + 7)' = -5$.

Производная функции $f'(x) = -5$ является постоянной и отрицательной величиной ($-5 < 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция $f(x) = -5x + 7$ является строго убывающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

4) Дана функция $f(x) = 4x - 11$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (4x - 11)' = 4$.

Производная функции $f'(x) = 4$ является постоянной и положительной величиной ($4 > 0$) для любого значения $x$. Она никогда не обращается в ноль, поэтому у функции нет стационарных точек.

Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x) = 4x - 11$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго монотонные функции не имеют точек экстремума.

Ответ: точек экстремума нет.

48.4. 1) $f(x) = x^2 - 8x + 15;$

2) $f(x) = -x^2 - 3x + 10;$

3) $f(x) = x^2 + 3x - 18;$

4) $f(x) = -x^2 + 12x - 20.$

1) Чтобы найти нули функции $f(x) = x^2 - 8x + 15$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-8$, $c=15$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Нули функции: $x=3$ и $x=5$.

Ответ: 3; 5.

2) Чтобы найти нули функции $f(x) = -x^2 - 3x + 10$, решим уравнение $f(x) = 0$.

$-x^2 - 3x + 10 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Здесь $a=1$, $b=3$, $c=-10$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Нули функции: $x=-5$ и $x=2$.

Ответ: -5; 2.

3) Чтобы найти нули функции $f(x) = x^2 + 3x - 18$, решим уравнение $f(x) = 0$.

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Здесь $a=1$, $b=3$, $c=-18$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Нули функции: $x=-6$ и $x=3$.

Ответ: -6; 3.

4) Чтобы найти нули функции $f(x) = -x^2 + 12x - 20$, решим уравнение $f(x) = 0$.

$-x^2 + 12x - 20 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 - 12x + 20 = 0$

Здесь $a=1$, $b=-12$, $c=20$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Нули функции: $x=2$ и $x=10$.

Ответ: 2; 10.

48.5.
1) $f(x) = x^3 - 27$;
3) $f(x) = x^3 + 3x^2$;
2) $f(x) = -x^3 - 8$;
4) $f(x) = -x^3 + 12x$.

1) Для исследования функции $f(x) = x^3 - 27$ на монотонность и экстремумы, найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $f'(x) = (x^3 - 27)' = 3x^2$.

Далее найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 = 0$

$x = 0$

Это единственная критическая точка. Определим знаки производной на интервалах, на которые эта точка разбивает числовую ось: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то производная $f'(x) = 3x^2 \geq 0$ на всей области определения. Это означает, что функция не убывает.

На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция также возрастает.

Так как при переходе через точку $x=0$ производная не меняет свой знак, в этой точке экстремума нет. Функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

2) Исследуем функцию $f(x) = -x^3 - 8$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 - 8)' = -3x^2$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$-3x^2 = 0$

$x = 0$

Единственная критическая точка — $x=0$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Поскольку $x^2 \geq 0$, то $f'(x) = -3x^2 \leq 0$ для всех $x$. Это означает, что функция не возрастает.

На интервале $(-\infty; 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На интервале $(0; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция также убывает.

При переходе через точку $x=0$ знак производной не меняется, поэтому в этой точке нет экстремума. Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 3x^2$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 6x = 0$

$3x(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

- Для $x \in (-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $f'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

- Для $x \in (-2; 0)$, возьмем $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.

- Для $x \in (0; +\infty)$, возьмем $x=1$: $f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 9 > 0$. Функция возрастает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значение функции в этой точке: $f_{max} = f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значение функции в этой точке: $f_{min} = f(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 0]$; точка максимума $x_{max} = -2$, $y_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

4) Исследуем функцию $f(x) = -x^3 + 12x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 + 12x)' = -3x^2 + 12$.

Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

- Для $x \in (-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $f'(-3) = -3(-3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0$. Функция убывает.

- Для $x \in (-2; 2)$, возьмем $x=0$: $f'(0) = -3(0)^2 + 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.

- Для $x \in (2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $f'(3) = -3(3)^2 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0$. Функция убывает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значение функции: $f_{min} = f(-2) = -(-2)^3 + 12(-2) = 8 - 24 = -16$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значение функции: $f_{max} = f(2) = -(2)^3 + 12(2) = -8 + 24 = 16$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, возрастает на промежутке $[-2; 2]$; точка минимума $x_{min} = -2$, $y_{min} = -16$; точка максимума $x_{max} = 2$, $y_{max} = 16$.

48.6. Найдите экстремумы функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 2x^2 - 5x + 2;$

2) $f(x) = -3x^2 + 9x - 4;$

3) $f(x) = 8 + 8x - 6x^2;$

4) $f(x) = 17 + 18x + 9x^2.$

Для нахождения экстремумов (максимумов или минимумов) квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ можно использовать производную. Экстремум достигается в вершине параболы, абсциссу которой можно найти, приравняв первую производную к нулю.

1) Дана функция $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$), следовательно, функция имеет точку минимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^2 - 5x + 2)' = 4x - 5$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$4x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4}$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение минимума):

$y_{min} = f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 2 = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = \frac{25 - 50 + 16}{8} = -\frac{9}{8}$.

Ответ: $y_{min} = -\frac{9}{8}$.

2) Дана функция $f(x) = -3x^2 + 9x - 4$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-3 < 0$), следовательно, функция имеет точку максимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-3x^2 + 9x - 4)' = -6x + 9$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$-6x + 9 = 0 \Rightarrow 6x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение максимума):

$y_{max} = f(\frac{3}{2}) = -3(\frac{3}{2})^2 + 9(\frac{3}{2}) - 4 = -3 \cdot \frac{9}{4} + \frac{27}{2} - 4 = -\frac{27}{4} + \frac{54}{4} - \frac{16}{4} = \frac{-27 + 54 - 16}{4} = \frac{11}{4}$.

Ответ: $y_{max} = \frac{11}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = 8 + 8x - 6x^2$. Запишем в стандартном виде: $f(x) = -6x^2 + 8x + 8$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-6 < 0$), следовательно, функция имеет точку максимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-6x^2 + 8x + 8)' = -12x + 8$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$-12x + 8 = 0 \Rightarrow 12x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение максимума):

$y_{max} = f(\frac{2}{3}) = -6(\frac{2}{3})^2 + 8(\frac{2}{3}) + 8 = -6 \cdot \frac{4}{9} + \frac{16}{3} + 8 = -\frac{24}{9} + \frac{16}{3} + 8 = -\frac{8}{3} + \frac{16}{3} + \frac{24}{3} = \frac{-8 + 16 + 24}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $y_{max} = \frac{32}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = 17 + 18x + 9x^2$. Запишем в стандартном виде: $f(x) = 9x^2 + 18x + 17$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $9 > 0$), следовательно, функция имеет точку минимума.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (9x^2 + 18x + 17)' = 18x + 18$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю:

$18x + 18 = 0 \Rightarrow 18x = -18 \Rightarrow x = -1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке (значение минимума):

$y_{min} = f(-1) = 9(-1)^2 + 18(-1) + 17 = 9 - 18 + 17 = 8$.

Ответ: $y_{min} = 8$.

48.7. Найдите критические точки функции $y = f(x)$. Выясните, какие из этих точек являются: 1) точками минимума; 2) точками максимума:

1) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$;

2) $f(x) = -x^4 + 0.5x^2 + 1$;

3) $f(x) = -2x^4 + x^2 - 1$.

Для нахождения критических точек функции и определения их типа (минимум или максимум) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции $f'(x)$.

2. Решить уравнение $f'(x) = 0$. Корни этого уравнения (а также точки, где производная не существует) являются критическими точками.

3. Найти вторую производную $f''(x)$.

4. Подставить каждую критическую точку $x_0$ во вторую производную. Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка минимума. Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка максимума. Если $f''(x_0) = 0$, требуется дополнительное исследование (например, с помощью первой производной).

1) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

Находим первую производную:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.

Определяем знак второй производной в каждой критической точке:

Для $x = -1$: $f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(-1) > 0$, то $x = -1$ является точкой минимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4$. Так как $f''(0) < 0$, то $x = 0$ является точкой максимума.

Для $x = 1$: $f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$. Так как $f''(1) > 0$, то $x = 1$ является точкой минимума.

Ответ: критические точки: $x = -1, 0, 1$; точки минимума: $x = -1$ и $x = 1$; точка максимума: $x = 0$.

2) $f(x) = -x^4 + 0,5x^2 + 1$

Находим первую производную:

$f'(x) = (-x^4 + 0,5x^2 + 1)' = -4x^3 + x$.

Приравниваем производную к нулю:

$-4x^3 + x = 0$

$x(1 - 4x^2) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ или $1 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 0,5$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -0,5$, $x_3 = 0,5$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (-4x^3 + x)' = -12x^2 + 1$.

Определяем знак второй производной в каждой критической точке:

Для $x = -0,5$: $f''(-0,5) = -12(-0,5)^2 + 1 = -12(0,25) + 1 = -3 + 1 = -2$. Так как $f''(-0,5) < 0$, то $x = -0,5$ является точкой максимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = -12(0)^2 + 1 = 1$. Так как $f''(0) > 0$, то $x = 0$ является точкой минимума.

Для $x = 0,5$: $f''(0,5) = -12(0,5)^2 + 1 = -12(0,25) + 1 = -3 + 1 = -2$. Так как $f''(0,5) < 0$, то $x = 0,5$ является точкой максимума.

Ответ: критические точки: $x = -0,5, 0, 0,5$; точка минимума: $x = 0$; точки максимума: $x = -0,5$ и $x = 0,5$.

3) $f(x) = -2x^4 + x^2 - 1$

Находим первую производную:

$f'(x) = (-2x^4 + x^2 - 1)' = -8x^3 + 2x$.

Приравниваем производную к нулю:

$-8x^3 + 2x = 0$

$2x(1 - 4x^2) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ или $1 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 0,5$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -0,5$, $x_3 = 0,5$.

Находим вторую производную:

$f''(x) = (-8x^3 + 2x)' = -24x^2 + 2$.

Определяем знак второй производной в каждой критической точке:

Для $x = -0,5$: $f''(-0,5) = -24(-0,5)^2 + 2 = -24(0,25) + 2 = -6 + 2 = -4$. Так как $f''(-0,5) < 0$, то $x = -0,5$ является точкой максимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = -24(0)^2 + 2 = 2$. Так как $f''(0) > 0$, то $x = 0$ является точкой минимума.

Для $x = 0,5$: $f''(0,5) = -24(0,5)^2 + 2 = -24(0,25) + 2 = -6 + 2 = -4$. Так как $f''(0,5) < 0$, то $x = 0,5$ является точкой максимума.

Ответ: критические точки: $x = -0,5, 0, 0,5$; точка минимума: $x = 0$; точки максимума: $x = -0,5$ и $x = 0,5$.

48.8. Найдите критические точки функции $y = f(x)$. Выясните, какие из этих точек являются: 1) точками минимума; 2) точками максимума:

1) $f(x) = 5x - x^5$;

2) $f(x) = 0.5x^6 + 3x^3$;

3) $f(x) = -x^4 + 2x + 1$.

1) f(x) = 5x - x⁵

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Для многочленов производная существует на всей числовой оси.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (5x - x^5)' = 5 \cdot 1 - 5x^{5-1} = 5 - 5x^4$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$5 - 5x^4 = 0$

$5(1 - x^4) = 0$

$x^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Это и есть критические точки.

3. Выясним, являются ли эти точки точками минимума или максимума. Для этого используем вторую производную.

$f''(x) = (5 - 5x^4)' = -20x^3$.

Теперь подставим в нее наши критические точки:

Для $x = -1$: $f''(-1) = -20(-1)^3 = -20(-1) = 20$. Поскольку $f''(-1) > 0$, точка $x = -1$ является точкой минимума.

Для $x = 1$: $f''(1) = -20(1)^3 = -20$. Поскольку $f''(1) < 0$, точка $x = 1$ является точкой максимума.

Ответ: критические точки: $x=-1$, $x=1$; точка минимума: $x=-1$; точка максимума: $x=1$.

2) f(x) = 0,5x⁶ + 3x³

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (0,5x^6 + 3x^3)' = 0,5 \cdot 6x^5 + 3 \cdot 3x^2 = 3x^5 + 9x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^5 + 9x^2 = 0$

$3x^2(x^3 + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$3x^2 = 0 \implies x = 0$

$x^3 + 3 = 0 \implies x^3 = -3 \implies x = -\sqrt[3]{3}$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\sqrt[3]{3}$.

3. Определим тип критических точек с помощью второй производной.

$f''(x) = (3x^5 + 9x^2)' = 15x^4 + 18x$.

Проверим каждую точку:

Для $x = -\sqrt[3]{3}$: $f''(-\sqrt[3]{3}) = 15(-\sqrt[3]{3})^4 + 18(-\sqrt[3]{3}) = 15(3\sqrt[3]{3}) - 18\sqrt[3]{3} = 27\sqrt[3]{3}$. Так как $\sqrt[3]{3} > 0$, то $f''(-\sqrt[3]{3}) > 0$, следовательно, $x = -\sqrt[3]{3}$ является точкой минимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = 15(0)^4 + 18(0) = 0$. В этом случае вторая производная не помогает определить тип точки. Исследуем знак первой производной $f'(x) = 3x^2(x^3+3)$ в окрестности точки $x=0$.

Множитель $3x^2$ всегда неотрицателен ($>0$ для $x \ne 0$ и $=0$ для $x=0$). Вблизи точки $x=0$ (например, на интервале $(-1, 1)$), выражение $x^3$ очень мало, поэтому $x^3+3$ будет положительным. Таким образом, $f'(x)$ имеет знак "плюс" как слева, так и справа от точки $x=0$. Поскольку знак производной не меняется при переходе через точку $x=0$, в этой точке нет ни минимума, ни максимума.

Ответ: критические точки: $x=0$, $x=-\sqrt[3]{3}$; точка минимума: $x=-\sqrt[3]{3}$; точек максимума нет.

3) f(x) = -x⁴ + 2x + 1

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^4 + 2x + 1)' = -4x^3 + 2$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-4x^3 + 2 = 0$

$4x^3 = 2$

$x^3 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка.

3. Определим ее тип с помощью второй производной.

$f''(x) = (-4x^3 + 2)' = -12x^2$.

Подставим значение критической точки:

$f''\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = -12\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 = -12\left(\frac{1}{2}\right)^{2/3}$.

Так как $x^2$ всегда положительно для $x \ne 0$, то $f''\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)$ будет отрицательным. Следовательно, точка $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ является точкой максимума.

Ответ: критическая точка: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$; точка максимума: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$; точек минимума нет.

48.9. Докажите, что не имеет точек экстремума функция:

1) $y = 9 - 13x;$

2) $y = -17 + x^3;$

3) $y = 4 + \frac{8}{x};$

4) $y = -\frac{11}{x} + 21.$

1) Для доказательства отсутствия точек экстремума у функции необходимо исследовать ее производную. Точки экстремума могут существовать только в тех точках области определения, где производная равна нулю или не существует (это так называемые критические точки).

Рассмотрим функцию $y = 9 - 13x$.

Это линейная функция, определенная на всей числовой прямой $x \in (-\infty; +\infty)$.

Найдем ее производную: $y' = (9 - 13x)' = -13$.

Производная $y' = -13$ является константой. Она никогда не обращается в ноль. Уравнение $-13 = 0$ не имеет решений. Также производная существует при любом значении $x$.

Поскольку не существует точек, в которых производная равна нулю или не определена, у функции нет критических точек, а значит, и нет точек экстремума.

Ответ: Производная функции $y' = -13$ никогда не равна нулю, поэтому функция не имеет точек экстремума.

2) Рассмотрим функцию $y = -17 + x^3$.

Это кубическая функция, область определения которой — все действительные числа $x \in (-\infty; +\infty)$.

Найдем ее производную: $y' = (-17 + x^3)' = 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 = 0$.

Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$. Это единственная критическая точка функции.

Для того чтобы точка $x=0$ была точкой экстремума, необходимо, чтобы производная меняла свой знак при переходе через эту точку. Проверим знак производной $y' = 3x^2$ слева и справа от $x=0$.

При $x < 0$ (например, $x = -1$) имеем $y' = 3(-1)^2 = 3 > 0$.

При $x > 0$ (например, $x = 1$) имеем $y' = 3(1)^2 = 3 > 0$.

Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$ (она положительна как слева, так и справа), эта точка не является точкой экстремума (это точка перегиба). Таким образом, у функции нет точек экстремума.

Ответ: У функции есть одна критическая точка $x=0$, но в ней производная не меняет знак, следовательно, точек экстремума нет.

3) Рассмотрим функцию $y = 4 + \frac{8}{x}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, представив ее как $y = 4 + 8x^{-1}$:

$y' = (4 + 8x^{-1})' = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.

Найдем критические точки. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{8}{x^2} = 0$, не имеет решений, так как дробь равна нулю, только если ее числитель равен нулю, а у нас он равен $-8$.

Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции, поэтому не может быть точкой экстремума.

Поскольку в области определения функции нет точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек и, следовательно, нет точек экстремума.

Ответ: Производная функции $y' = -\frac{8}{x^2}$ никогда не равна нулю в области определения функции, поэтому функция не имеет точек экстремума.

4) Рассмотрим функцию $y = -\frac{11}{x} + 21$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, представив ее как $y = -11x^{-1} + 21$:

$y' = (-11x^{-1} + 21)' = 11x^{-2} = \frac{11}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю: $\frac{11}{x^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как его числитель $11 \neq 0$.

Производная не определена в точке $x=0$, но $x=0$ не входит в область определения исходной функции.

Таким образом, в области определения функции нет критических точек, а значит, нет и точек экстремума.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{11}{x^2}$ никогда не равна нулю в области определения функции, следовательно, функция не имеет точек экстремума.

Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$ (48.10–48.13):

48.10. 1) $f(x) = x^2 - 8x + 12;$

2) $f(x) = -x^2 - 8x + 9;$

3) $f(x) = 4x^2 - 4x - 3;$

4) $f(x) = -2x^2 + 7x - 5.$

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 8x + 12$.

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную. Область определения функции - все действительные числа.

Находим производную:

$f'(x) = (x^2 - 8x + 12)' = 2x - 8$.

Далее находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$.

Мы нашли одну критическую точку $x = 4$. Чтобы определить, является ли она точкой максимума или минимума, исследуем знак производной на интервалах, на которые эта точка делит числовую ось.

При $x < 4$ (например, $x=0$), $f'(0) = 2(0) - 8 = -8 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > 4$ (например, $x=5$), $f'(5) = 2(5) - 8 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку в точке $x=4$ производная меняет знак с «-» на «+», эта точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 4$.

2) Дана функция $f(x) = -x^2 - 8x + 9$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 8x + 9)' = -2x - 8$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0$

$-2x - 8 = 0$

$-2x = 8$

$x = -4$.

Исследуем знак производной слева и справа от критической точки $x = -4$.

При $x < -4$ (например, $x=-5$), $f'(-5) = -2(-5) - 8 = 10 - 8 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x > -4$ (например, $x=0$), $f'(0) = -2(0) - 8 = -8 < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку в точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой максимума.

Ответ: $x_{max} = -4$.

3) Дана функция $f(x) = 4x^2 - 4x - 3$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (4x^2 - 4x - 3)' = 8x - 4$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0$

$8x - 4 = 0$

$8x = 4$

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Исследуем знак производной слева и справа от критической точки $x = \frac{1}{2}$.

При $x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0$), $f'(0) = 8(0) - 4 = -4 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$), $f'(1) = 8(1) - 4 = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку в точке $x=\frac{1}{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», эта точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = \frac{1}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = -2x^2 + 7x - 5$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (-2x^2 + 7x - 5)' = -4x + 7$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0$

$-4x + 7 = 0$

$-4x = -7$

$x = \frac{7}{4}$.

Исследуем знак производной слева и справа от критической точки $x = \frac{7}{4}$.

При $x < \frac{7}{4}$ (например, $x=0$), $f'(0) = -4(0) + 7 = 7 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x > \frac{7}{4}$ (например, $x=2$), $f'(2) = -4(2) + 7 = -8 + 7 = -1 < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку в точке $x=\frac{7}{4}$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой максимума.

Ответ: $x_{max} = \frac{7}{4}$.

48.11. 1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 0,25;$

2) $f(x) = x^3 + 0,12x;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1;$

4) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 11.$

1) Исследуем функцию $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 0,25$.

Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции для определения промежутков монотонности и точек экстремума:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 0,25)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Находим критические (стационарные) точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 = 0$

$x = 0$.

Анализируем знак производной. Так как $f'(x) = x^2 \ge 0$ для всех $x$, производная неотрицательна на всей области определения. Это означает, что функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

Так как производная не меняет знак при переходе через критическую точку $x=0$, то в этой точке нет экстремума. Таким образом, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

2) Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 0,12x$.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 0,12x)' = 3x^2 + 0,12$.

Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 0,12 = 0$

$3x^2 = -0,12$

$x^2 = -0,04$.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у функции нет критических точек.

Анализируем знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и $f'(x) = 3x^2 + 0,12 \ge 0,12 > 0$ для всех $x$. Поскольку производная всегда положительна, функция строго возрастает на всей области определения.

Так как нет критических точек, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$, точек экстремума нет.

3) Исследуем функцию $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1$.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x = x^2 + 2x$.

Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:

- При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$: $f'(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (-2, 0)$, например $x=-1$: $f'(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 < 0$. Функция убывает.

- При $x \in (0, +\infty)$, например $x=1$: $f'(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 > 0$. Функция возрастает.

Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f_{max} = f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 - 1 = -\frac{8}{3} + 4 - 1 = -\frac{8}{3} + 3 = \frac{1}{3}$.

- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f_{min} = f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0^2 - 1 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$; точка максимума $x_{max}=-2$ ($f(-2)=\frac{1}{3}$), точка минимума $x_{min}=0$ ($f(0)=-1$).

4) Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 + 11$.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 11)' = 3x^2 - 6x$.

Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:

- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (0, 2)$, например $x=1$: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.

- При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$: $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

Определяем точки экстремума:

- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции: $f_{max} = f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 11 = 11$.

- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции: $f_{min} = f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 11 = 8 - 12 + 11 = 7$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 2]$; точка максимума $x_{max}=0$ ($f(0)=11$), точка минимума $x_{min}=2$ ($f(2)=7$).

48.12.

1) $f(x) = 0.25x^2 - 9x$;

2) $f(x) = -1.25x^2 + 13x$;

3) $f(x) = x^3 - 16x + 2$;

4) $f(x) = -x^3 + 9x + 2$.

1) $f(x) = 0,25x^2 - 9x$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, необходимо найти ее производную и критические точки.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции по правилу дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (0,25x^2 - 9x)' = 0,25 \cdot 2x^{2-1} - 9 \cdot 1 = 0,5x - 9$.

3. Находим критические точки, для этого приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$

$0,5x - 9 = 0$

$0,5x = 9$

$x = \frac{9}{0,5} = 18$. Таким образом, $x = 18$ — единственная критическая точка.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает числовую ось: $(-\infty; 18)$ и $(18; +\infty)$.

- Для интервала $(-\infty; 18)$ выберем пробную точку, например $x=0$. $f'(0) = 0,5 \cdot 0 - 9 = -9 < 0$. Так как производная отрицательна, функция убывает на этом промежутке.

- Для интервала $(18; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x=20$. $f'(20) = 0,5 \cdot 20 - 9 = 10 - 9 = 1 > 0$. Так как производная положительна, функция возрастает на этом промежутке.

5. В точке $x = 18$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$x_{min} = 18$.

Значение функции в точке минимума: $f(18) = 0,25 \cdot (18)^2 - 9 \cdot 18 = 0,25 \cdot 324 - 162 = 81 - 162 = -81$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[18; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 18]$, точка минимума $x_{min} = 18$.

2) $f(x) = -1,25x^2 + 13x$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (-1,25x^2 + 13x)' = -1,25 \cdot 2x + 13 = -2,5x + 13$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$

$-2,5x + 13 = 0$

$2,5x = 13$

$x = \frac{13}{2,5} = 5,2$. Критическая точка: $x = 5,2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 5,2)$ и $(5,2; +\infty)$.

- Для $x < 5,2$, например $x=0$: $f'(0) = -2,5 \cdot 0 + 13 = 13 > 0$. Функция возрастает.

- Для $x > 5,2$, например $x=10$: $f'(10) = -2,5 \cdot 10 + 13 = -25 + 13 = -12 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = 5,2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

$x_{max} = 5,2$.

Значение функции в точке максимума: $f(5,2) = -1,25 \cdot (5,2)^2 + 13 \cdot 5,2 = -1,25 \cdot 27,04 + 67,6 = -33,8 + 67,6 = 33,8$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5,2]$, убывает на промежутке $[5,2; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 5,2$.

3) $f(x) = x^3 - 16x + 2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (x^3 - 16x + 2)' = 3x^2 - 16$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$

$3x^2 - 16 = 0$

$x^2 = \frac{16}{3}$

$x_1 = -\sqrt{\frac{16}{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

4. Исследуем знак производной. График $y = 3x^2 - 16$ — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x_1$ и $x_2$.

- На интервале $(-\infty; -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{4\sqrt{3}}{3})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(\frac{4\sqrt{3}}{3}; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Анализируем смену знака производной в критических точках:

- В точке $x = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$ знак меняется с «+» на «−», это точка максимума: $x_{max} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

- В точке $x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ знак меняется с «−» на «+», это точка минимума: $x_{min} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Значение функции в точке максимума: $f_{max} = f(-\frac{4\sqrt{3}}{3}) = (-\frac{4\sqrt{3}}{3})^3 - 16(-\frac{4\sqrt{3}}{3}) + 2 = -\frac{64 \cdot 3\sqrt{3}}{27} + \frac{64\sqrt{3}}{3} + 2 = -\frac{64\sqrt{3}}{9} + \frac{192\sqrt{3}}{9} + 2 = 2 + \frac{128\sqrt{3}}{9}$.

Значение функции в точке минимума: $f_{min} = f(\frac{4\sqrt{3}}{3}) = (\frac{4\sqrt{3}}{3})^3 - 16(\frac{4\sqrt{3}}{3}) + 2 = \frac{64\sqrt{3}}{9} - \frac{192\sqrt{3}}{9} + 2 = 2 - \frac{128\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\frac{4\sqrt{3}}{3}]$ и $[\frac{4\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{4\sqrt{3}}{3}]$, точка максимума $x_{max} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$, точка минимума $x_{min} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

4) $f(x) = -x^3 + 9x + 2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (-x^3 + 9x + 2)' = -3x^2 + 9$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$

$-3x^2 + 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

$x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

4. Исследуем знак производной. График $y = -3x^2 + 9$ — парабола с ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $x_1$ и $x_2$.

- На интервале $(-\infty; -\sqrt{3})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. Анализируем смену знака производной в критических точках:

- В точке $x = -\sqrt{3}$ знак меняется с «−» на «+», это точка минимума: $x_{min} = -\sqrt{3}$.

- В точке $x = \sqrt{3}$ знак меняется с «+» на «−», это точка максимума: $x_{max} = \sqrt{3}$.

Значение функции в точке минимума: $f_{min} = f(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3})^3 + 9(-\sqrt{3}) + 2 = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 2 = 2 - 6\sqrt{3}$.

Значение функции в точке максимума: $f_{max} = f(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^3 + 9(\sqrt{3}) + 2 = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 2 = 2 + 6\sqrt{3}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, возрастает на промежутке $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$, точка минимума $x_{min} = -\sqrt{3}$, точка максимума $x_{max} = \sqrt{3}$.

48.13. 1) $f(x) = 45x - \frac{1}{3}x^3;$

2) $f(x) = -24x + x^3;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^4;$

4) $f(x) = x^3 - 15x^4.$

1) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 45x - \frac{1}{3}x^3$ необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (45x - \frac{1}{3}x^3)' = 45 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 45 - x^2$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$45 - x^2 = 0$

$x^2 = 45$

$x = \pm\sqrt{45} = \pm\sqrt{9 \cdot 5} = \pm3\sqrt{5}$.

Критические точки: $x_1 = -3\sqrt{5}$ и $x_2 = 3\sqrt{5}$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось. Производная $f'(x) = 45 - x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

- На интервале $(-\infty; -3\sqrt{5})$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(-3\sqrt{5}; 3\sqrt{5})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(3\sqrt{5}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -3\sqrt{5}$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

- В точке $x = 3\sqrt{5}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.

Ответ: точка минимума $x_{min} = -3\sqrt{5}$, точка максимума $x_{max} = 3\sqrt{5}$.

2) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = -24x + x^3$ найдем ее производную.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-24x + x^3)' = -24 + 3x^2$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-24 + 3x^2 = 0$

$3x^2 = 24$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8} = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$.

Критические точки: $x_1 = -2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2\sqrt{2}$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3x^2 - 24$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

- На интервале $(-\infty; -2\sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(2\sqrt{2}; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.

- В точке $x = 2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -2\sqrt{2}$, точка минимума $x_{min} = 2\sqrt{2}$.

3) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^4$ исследуем ее производную.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + x^4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 4x^3 = x^2 + 4x^3$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$x^2 + 4x^3 = 0$

$x^2(1 + 4x) = 0$

Отсюда $x^2 = 0$ или $1 + 4x = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1/4$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = x^2(1+4x)$. Так как множитель $x^2$ всегда неотрицателен, знак производной определяется знаком множителя $(1+4x)$.

- На интервале $(-\infty; -1/4)$, $1+4x < 0$, поэтому $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(-1/4; 0)$, $1+4x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; +\infty)$, $1+4x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция также возрастает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -1/4$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

- В точке $x = 0$ производная не меняет знак (знак «+» и слева, и справа). Следовательно, $x=0$ не является точкой экстремума.

Ответ: точка минимума $x_{min} = -1/4$.

4) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = x^3 - 15x^4$ исследуем ее производную.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 15x^4)' = 3x^2 - 15 \cdot 4x^3 = 3x^2 - 60x^3$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 60x^3 = 0$

$3x^2(1 - 20x) = 0$

Отсюда $3x^2 = 0$ или $1 - 20x = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/20$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3x^2(1 - 20x)$. Так как множитель $3x^2$ всегда неотрицателен, знак производной определяется знаком множителя $(1 - 20x)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$, $1 - 20x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; 1/20)$, $1 - 20x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция также возрастает.

- На интервале $(1/20; +\infty)$, $1 - 20x < 0$, поэтому $f'(x) < 0$, функция убывает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = 0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.

- В точке $x = 1/20$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 1/20$.