Номер 48.10, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите точки экстремума функции $y = f(x)$ (48.10–48.13):

48.10. 1) $f(x) = x^2 - 8x + 12;$

2) $f(x) = -x^2 - 8x + 9;$

3) $f(x) = 4x^2 - 4x - 3;$

4) $f(x) = -2x^2 + 7x - 5.$

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 8x + 12$.

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную. Область определения функции - все действительные числа.

Находим производную:

$f'(x) = (x^2 - 8x + 12)' = 2x - 8$.

Далее находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$.

Мы нашли одну критическую точку $x = 4$. Чтобы определить, является ли она точкой максимума или минимума, исследуем знак производной на интервалах, на которые эта точка делит числовую ось.

При $x < 4$ (например, $x=0$), $f'(0) = 2(0) - 8 = -8 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > 4$ (например, $x=5$), $f'(5) = 2(5) - 8 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку в точке $x=4$ производная меняет знак с «-» на «+», эта точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 4$.

2) Дана функция $f(x) = -x^2 - 8x + 9$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 8x + 9)' = -2x - 8$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0$

$-2x - 8 = 0$

$-2x = 8$

$x = -4$.

Исследуем знак производной слева и справа от критической точки $x = -4$.

При $x < -4$ (например, $x=-5$), $f'(-5) = -2(-5) - 8 = 10 - 8 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x > -4$ (например, $x=0$), $f'(0) = -2(0) - 8 = -8 < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку в точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой максимума.

Ответ: $x_{max} = -4$.

3) Дана функция $f(x) = 4x^2 - 4x - 3$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (4x^2 - 4x - 3)' = 8x - 4$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0$

$8x - 4 = 0$

$8x = 4$

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Исследуем знак производной слева и справа от критической точки $x = \frac{1}{2}$.

При $x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0$), $f'(0) = 8(0) - 4 = -4 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$), $f'(1) = 8(1) - 4 = 4 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку в точке $x=\frac{1}{2}$ производная меняет знак с «-» на «+», эта точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = \frac{1}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = -2x^2 + 7x - 5$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (-2x^2 + 7x - 5)' = -4x + 7$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0$

$-4x + 7 = 0$

$-4x = -7$

$x = \frac{7}{4}$.

Исследуем знак производной слева и справа от критической точки $x = \frac{7}{4}$.

При $x < \frac{7}{4}$ (например, $x=0$), $f'(0) = -4(0) + 7 = 7 > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x > \frac{7}{4}$ (например, $x=2$), $f'(2) = -4(2) + 7 = -8 + 7 = -1 < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку в точке $x=\frac{7}{4}$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой максимума.

Ответ: $x_{max} = \frac{7}{4}$.