Номер 48.8, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.8. Найдите критические точки функции $y = f(x)$. Выясните, какие из этих точек являются: 1) точками минимума; 2) точками максимума:

1) $f(x) = 5x - x^5$;

2) $f(x) = 0.5x^6 + 3x^3$;

3) $f(x) = -x^4 + 2x + 1$.

1) f(x) = 5x - x⁵

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Для многочленов производная существует на всей числовой оси.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (5x - x^5)' = 5 \cdot 1 - 5x^{5-1} = 5 - 5x^4$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$5 - 5x^4 = 0$

$5(1 - x^4) = 0$

$x^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Это и есть критические точки.

3. Выясним, являются ли эти точки точками минимума или максимума. Для этого используем вторую производную.

$f''(x) = (5 - 5x^4)' = -20x^3$.

Теперь подставим в нее наши критические точки:

Для $x = -1$: $f''(-1) = -20(-1)^3 = -20(-1) = 20$. Поскольку $f''(-1) > 0$, точка $x = -1$ является точкой минимума.

Для $x = 1$: $f''(1) = -20(1)^3 = -20$. Поскольку $f''(1) < 0$, точка $x = 1$ является точкой максимума.

Ответ: критические точки: $x=-1$, $x=1$; точка минимума: $x=-1$; точка максимума: $x=1$.

2) f(x) = 0,5x⁶ + 3x³

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (0,5x^6 + 3x^3)' = 0,5 \cdot 6x^5 + 3 \cdot 3x^2 = 3x^5 + 9x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^5 + 9x^2 = 0$

$3x^2(x^3 + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$3x^2 = 0 \implies x = 0$

$x^3 + 3 = 0 \implies x^3 = -3 \implies x = -\sqrt[3]{3}$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\sqrt[3]{3}$.

3. Определим тип критических точек с помощью второй производной.

$f''(x) = (3x^5 + 9x^2)' = 15x^4 + 18x$.

Проверим каждую точку:

Для $x = -\sqrt[3]{3}$: $f''(-\sqrt[3]{3}) = 15(-\sqrt[3]{3})^4 + 18(-\sqrt[3]{3}) = 15(3\sqrt[3]{3}) - 18\sqrt[3]{3} = 27\sqrt[3]{3}$. Так как $\sqrt[3]{3} > 0$, то $f''(-\sqrt[3]{3}) > 0$, следовательно, $x = -\sqrt[3]{3}$ является точкой минимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = 15(0)^4 + 18(0) = 0$. В этом случае вторая производная не помогает определить тип точки. Исследуем знак первой производной $f'(x) = 3x^2(x^3+3)$ в окрестности точки $x=0$.

Множитель $3x^2$ всегда неотрицателен ($>0$ для $x \ne 0$ и $=0$ для $x=0$). Вблизи точки $x=0$ (например, на интервале $(-1, 1)$), выражение $x^3$ очень мало, поэтому $x^3+3$ будет положительным. Таким образом, $f'(x)$ имеет знак "плюс" как слева, так и справа от точки $x=0$. Поскольку знак производной не меняется при переходе через точку $x=0$, в этой точке нет ни минимума, ни максимума.

Ответ: критические точки: $x=0$, $x=-\sqrt[3]{3}$; точка минимума: $x=-\sqrt[3]{3}$; точек максимума нет.

3) f(x) = -x⁴ + 2x + 1

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^4 + 2x + 1)' = -4x^3 + 2$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-4x^3 + 2 = 0$

$4x^3 = 2$

$x^3 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка.

3. Определим ее тип с помощью второй производной.

$f''(x) = (-4x^3 + 2)' = -12x^2$.

Подставим значение критической точки:

$f''\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = -12\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 = -12\left(\frac{1}{2}\right)^{2/3}$.

Так как $x^2$ всегда положительно для $x \ne 0$, то $f''\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)$ будет отрицательным. Следовательно, точка $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ является точкой максимума.

Ответ: критическая точка: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$; точка максимума: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$; точек минимума нет.