Номер 48.12, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.12.

1) $f(x) = 0.25x^2 - 9x$;

2) $f(x) = -1.25x^2 + 13x$;

3) $f(x) = x^3 - 16x + 2$;

4) $f(x) = -x^3 + 9x + 2$.

1) $f(x) = 0,25x^2 - 9x$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, необходимо найти ее производную и критические точки.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции по правилу дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (0,25x^2 - 9x)' = 0,25 \cdot 2x^{2-1} - 9 \cdot 1 = 0,5x - 9$.

3. Находим критические точки, для этого приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$

$0,5x - 9 = 0$

$0,5x = 9$

$x = \frac{9}{0,5} = 18$. Таким образом, $x = 18$ — единственная критическая точка.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает числовую ось: $(-\infty; 18)$ и $(18; +\infty)$.

- Для интервала $(-\infty; 18)$ выберем пробную точку, например $x=0$. $f'(0) = 0,5 \cdot 0 - 9 = -9 < 0$. Так как производная отрицательна, функция убывает на этом промежутке.

- Для интервала $(18; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x=20$. $f'(20) = 0,5 \cdot 20 - 9 = 10 - 9 = 1 > 0$. Так как производная положительна, функция возрастает на этом промежутке.

5. В точке $x = 18$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$x_{min} = 18$.

Значение функции в точке минимума: $f(18) = 0,25 \cdot (18)^2 - 9 \cdot 18 = 0,25 \cdot 324 - 162 = 81 - 162 = -81$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[18; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 18]$, точка минимума $x_{min} = 18$.

2) $f(x) = -1,25x^2 + 13x$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (-1,25x^2 + 13x)' = -1,25 \cdot 2x + 13 = -2,5x + 13$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$

$-2,5x + 13 = 0$

$2,5x = 13$

$x = \frac{13}{2,5} = 5,2$. Критическая точка: $x = 5,2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 5,2)$ и $(5,2; +\infty)$.

- Для $x < 5,2$, например $x=0$: $f'(0) = -2,5 \cdot 0 + 13 = 13 > 0$. Функция возрастает.

- Для $x > 5,2$, например $x=10$: $f'(10) = -2,5 \cdot 10 + 13 = -25 + 13 = -12 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = 5,2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

$x_{max} = 5,2$.

Значение функции в точке максимума: $f(5,2) = -1,25 \cdot (5,2)^2 + 13 \cdot 5,2 = -1,25 \cdot 27,04 + 67,6 = -33,8 + 67,6 = 33,8$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5,2]$, убывает на промежутке $[5,2; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 5,2$.

3) $f(x) = x^3 - 16x + 2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (x^3 - 16x + 2)' = 3x^2 - 16$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$

$3x^2 - 16 = 0$

$x^2 = \frac{16}{3}$

$x_1 = -\sqrt{\frac{16}{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$ и $x_2 = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

4. Исследуем знак производной. График $y = 3x^2 - 16$ — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x_1$ и $x_2$.

- На интервале $(-\infty; -\frac{4\sqrt{3}}{3})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{4\sqrt{3}}{3})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(\frac{4\sqrt{3}}{3}; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Анализируем смену знака производной в критических точках:

- В точке $x = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$ знак меняется с «+» на «−», это точка максимума: $x_{max} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

- В точке $x = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ знак меняется с «−» на «+», это точка минимума: $x_{min} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Значение функции в точке максимума: $f_{max} = f(-\frac{4\sqrt{3}}{3}) = (-\frac{4\sqrt{3}}{3})^3 - 16(-\frac{4\sqrt{3}}{3}) + 2 = -\frac{64 \cdot 3\sqrt{3}}{27} + \frac{64\sqrt{3}}{3} + 2 = -\frac{64\sqrt{3}}{9} + \frac{192\sqrt{3}}{9} + 2 = 2 + \frac{128\sqrt{3}}{9}$.

Значение функции в точке минимума: $f_{min} = f(\frac{4\sqrt{3}}{3}) = (\frac{4\sqrt{3}}{3})^3 - 16(\frac{4\sqrt{3}}{3}) + 2 = \frac{64\sqrt{3}}{9} - \frac{192\sqrt{3}}{9} + 2 = 2 - \frac{128\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\frac{4\sqrt{3}}{3}]$ и $[\frac{4\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{4\sqrt{3}}{3}]$, точка максимума $x_{max} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$, точка минимума $x_{min} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

4) $f(x) = -x^3 + 9x + 2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $f'(x) = (-x^3 + 9x + 2)' = -3x^2 + 9$.

3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$

$-3x^2 + 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

$x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

4. Исследуем знак производной. График $y = -3x^2 + 9$ — парабола с ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $x_1$ и $x_2$.

- На интервале $(-\infty; -\sqrt{3})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. Анализируем смену знака производной в критических точках:

- В точке $x = -\sqrt{3}$ знак меняется с «−» на «+», это точка минимума: $x_{min} = -\sqrt{3}$.

- В точке $x = \sqrt{3}$ знак меняется с «+» на «−», это точка максимума: $x_{max} = \sqrt{3}$.

Значение функции в точке минимума: $f_{min} = f(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3})^3 + 9(-\sqrt{3}) + 2 = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 2 = 2 - 6\sqrt{3}$.

Значение функции в точке максимума: $f_{max} = f(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^3 + 9(\sqrt{3}) + 2 = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 2 = 2 + 6\sqrt{3}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, возрастает на промежутке $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$, точка минимума $x_{min} = -\sqrt{3}$, точка максимума $x_{max} = \sqrt{3}$.