Номер 48.9, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.9. Докажите, что не имеет точек экстремума функция:

1) $y = 9 - 13x;$

2) $y = -17 + x^3;$

3) $y = 4 + \frac{8}{x};$

4) $y = -\frac{11}{x} + 21.$

1) Для доказательства отсутствия точек экстремума у функции необходимо исследовать ее производную. Точки экстремума могут существовать только в тех точках области определения, где производная равна нулю или не существует (это так называемые критические точки).

Рассмотрим функцию $y = 9 - 13x$.

Это линейная функция, определенная на всей числовой прямой $x \in (-\infty; +\infty)$.

Найдем ее производную: $y' = (9 - 13x)' = -13$.

Производная $y' = -13$ является константой. Она никогда не обращается в ноль. Уравнение $-13 = 0$ не имеет решений. Также производная существует при любом значении $x$.

Поскольку не существует точек, в которых производная равна нулю или не определена, у функции нет критических точек, а значит, и нет точек экстремума.

Ответ: Производная функции $y' = -13$ никогда не равна нулю, поэтому функция не имеет точек экстремума.

2) Рассмотрим функцию $y = -17 + x^3$.

Это кубическая функция, область определения которой — все действительные числа $x \in (-\infty; +\infty)$.

Найдем ее производную: $y' = (-17 + x^3)' = 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 = 0$.

Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$. Это единственная критическая точка функции.

Для того чтобы точка $x=0$ была точкой экстремума, необходимо, чтобы производная меняла свой знак при переходе через эту точку. Проверим знак производной $y' = 3x^2$ слева и справа от $x=0$.

При $x < 0$ (например, $x = -1$) имеем $y' = 3(-1)^2 = 3 > 0$.

При $x > 0$ (например, $x = 1$) имеем $y' = 3(1)^2 = 3 > 0$.

Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$ (она положительна как слева, так и справа), эта точка не является точкой экстремума (это точка перегиба). Таким образом, у функции нет точек экстремума.

Ответ: У функции есть одна критическая точка $x=0$, но в ней производная не меняет знак, следовательно, точек экстремума нет.

3) Рассмотрим функцию $y = 4 + \frac{8}{x}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, представив ее как $y = 4 + 8x^{-1}$:

$y' = (4 + 8x^{-1})' = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.

Найдем критические точки. Уравнение $y' = 0$, то есть $-\frac{8}{x^2} = 0$, не имеет решений, так как дробь равна нулю, только если ее числитель равен нулю, а у нас он равен $-8$.

Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции, поэтому не может быть точкой экстремума.

Поскольку в области определения функции нет точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек и, следовательно, нет точек экстремума.

Ответ: Производная функции $y' = -\frac{8}{x^2}$ никогда не равна нулю в области определения функции, поэтому функция не имеет точек экстремума.

4) Рассмотрим функцию $y = -\frac{11}{x} + 21$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции, представив ее как $y = -11x^{-1} + 21$:

$y' = (-11x^{-1} + 21)' = 11x^{-2} = \frac{11}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю: $\frac{11}{x^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как его числитель $11 \neq 0$.

Производная не определена в точке $x=0$, но $x=0$ не входит в область определения исходной функции.

Таким образом, в области определения функции нет критических точек, а значит, нет и точек экстремума.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{11}{x^2}$ никогда не равна нулю в области определения функции, следовательно, функция не имеет точек экстремума.