Номер 48.13, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48.13. 1) $f(x) = 45x - \frac{1}{3}x^3;$

2) $f(x) = -24x + x^3;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^4;$

4) $f(x) = x^3 - 15x^4.$

1) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 45x - \frac{1}{3}x^3$ необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (45x - \frac{1}{3}x^3)' = 45 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 45 - x^2$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$45 - x^2 = 0$

$x^2 = 45$

$x = \pm\sqrt{45} = \pm\sqrt{9 \cdot 5} = \pm3\sqrt{5}$.

Критические точки: $x_1 = -3\sqrt{5}$ и $x_2 = 3\sqrt{5}$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось. Производная $f'(x) = 45 - x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

- На интервале $(-\infty; -3\sqrt{5})$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(-3\sqrt{5}; 3\sqrt{5})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(3\sqrt{5}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -3\sqrt{5}$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

- В точке $x = 3\sqrt{5}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.

Ответ: точка минимума $x_{min} = -3\sqrt{5}$, точка максимума $x_{max} = 3\sqrt{5}$.

2) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = -24x + x^3$ найдем ее производную.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-24x + x^3)' = -24 + 3x^2$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-24 + 3x^2 = 0$

$3x^2 = 24$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8} = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$.

Критические точки: $x_1 = -2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2\sqrt{2}$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3x^2 - 24$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

- На интервале $(-\infty; -2\sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(2\sqrt{2}; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.

- В точке $x = 2\sqrt{2}$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -2\sqrt{2}$, точка минимума $x_{min} = 2\sqrt{2}$.

3) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^4$ исследуем ее производную.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + x^4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 4x^3 = x^2 + 4x^3$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$x^2 + 4x^3 = 0$

$x^2(1 + 4x) = 0$

Отсюда $x^2 = 0$ или $1 + 4x = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1/4$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = x^2(1+4x)$. Так как множитель $x^2$ всегда неотрицателен, знак производной определяется знаком множителя $(1+4x)$.

- На интервале $(-\infty; -1/4)$, $1+4x < 0$, поэтому $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(-1/4; 0)$, $1+4x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; +\infty)$, $1+4x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция также возрастает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = -1/4$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума.

- В точке $x = 0$ производная не меняет знак (знак «+» и слева, и справа). Следовательно, $x=0$ не является точкой экстремума.

Ответ: точка минимума $x_{min} = -1/4$.

4) Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = x^3 - 15x^4$ исследуем ее производную.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 15x^4)' = 3x^2 - 15 \cdot 4x^3 = 3x^2 - 60x^3$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 60x^3 = 0$

$3x^2(1 - 20x) = 0$

Отсюда $3x^2 = 0$ или $1 - 20x = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/20$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3x^2(1 - 20x)$. Так как множитель $3x^2$ всегда неотрицателен, знак производной определяется знаком множителя $(1 - 20x)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$, $1 - 20x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; 1/20)$, $1 - 20x > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, функция также возрастает.

- На интервале $(1/20; +\infty)$, $1 - 20x < 0$, поэтому $f'(x) < 0$, функция убывает.

4. Определяем точки экстремума:

- В точке $x = 0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.

- В точке $x = 1/20$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 1/20$.