Номер 47.22, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.22. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x^3 (2+x) + \frac{8}{x+2}}$;

2) $\frac{7}{\sqrt{36x - x^3}} - \sqrt{x^2 - 16}$?

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{x^3(2+x)+\frac{8}{x+2}}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби не равнялся нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} x^3(2+x)+\frac{8}{x+2} \ge 0 \\ x+2 \ne 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство. Преобразуем левую часть, приведя ее к общему знаменателю:

$\frac{x^3(x+2)(x+2) + 8}{x+2} \ge 0$

$\frac{x^3(x+2)^2 + 8}{x+2} \ge 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Для этого нам нужно найти нули числителя и знаменателя.

Знаменатель $x+2$ обращается в ноль при $x=-2$. Это значение должно быть исключено из области допустимых значений.

Числитель равен нулю, когда $N(x) = x^3(x+2)^2 + 8 = 0$. Решить это уравнение стандартными школьными методами невозможно. Поэтому исследуем функцию $N(x)$, чтобы определить знаки числителя. Найдем производную функции $N(x)$:

$N'(x) = (x^3)'(x+2)^2 + x^3((x+2)^2)' = 3x^2(x+2)^2 + x^3 \cdot 2(x+2) \cdot 1 = x^2(x+2)(3(x+2)+2x) = x^2(x+2)(5x+6)$.

Критические точки функции $N(x)$ (где производная равна нулю): $x=0$, $x=-2$, $x=-\frac{6}{5}=-1.2$.

Проанализируем поведение функции $N(x)$:

При $x \to -\infty$, $N(x) \to -\infty$.

На интервале $(-\infty, -2)$ производная $N'(x) > 0$, значит, функция возрастает.

В точке $x=-2$ функция имеет локальный максимум: $N(-2)=(-2)^3(-2+2)^2+8 = 8$.

На интервале $(-2, -1.2)$ производная $N'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=-1.2$ функция имеет локальный минимум: $N(-1.2) = (-1.2)^3(0.8)^2+8 = -1.728 \cdot 0.64 + 8 = 6.89408$.

На интервале $(-1.2, \infty)$ производная $N'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x \to +\infty$, $N(x) \to +\infty$.

Поскольку $N(x)$ возрастает от $-\infty$ до $8$ на интервале $(-\infty, -2]$, на этом интервале существует единственная точка $x_0$, в которой $N(x_0)=0$. Так как $N(-3) = (-3)^3(-1)^2+8 = -19$, а $N(-2)=8$, то корень $x_0$ находится в интервале $(-3, -2)$.

Поскольку локальный минимум функции при $x=-1.2$ положителен ($6.89408 > 0$), на всем промежутке $(-2, +\infty)$ функция $N(x)$ принимает только положительные значения.

Таким образом, числитель $N(x) < 0$ при $x < x_0$, $N(x_0)=0$, и $N(x)>0$ при $x > x_0$.

Теперь решим неравенство $\frac{N(x)}{x+2} \ge 0$, используя метод интервалов с критическими точками $x_0$ и $-2$.

- На интервале $(-\infty, x_0)$: числитель $N(x) < 0$, знаменатель $x+2 < 0$. Дробь $\frac{-}{-}$ положительна.

- На интервале $(x_0, -2)$: числитель $N(x) > 0$, знаменатель $x+2 < 0$. Дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна.

- На интервале $(-2, +\infty)$: числитель $N(x) > 0$, знаменатель $x+2 > 0$. Дробь $\frac{+}{+}$ положительна.

Неравенство $\ge 0$ выполняется на объединении интервалов, где дробь положительна или равна нулю. Равенство нулю достигается при $x=x_0$. Точка $x=-2$ исключается.

Ответ: $x \in (-\infty, x_0] \cup (-2, +\infty)$, где $x_0$ — единственный действительный корень уравнения $x^3(x+2)^2+8=0$.

2) Для того чтобы выражение $\frac{7}{\sqrt{36x-x^3}} - \sqrt{x^2-16}$ имело смысл, должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение под корнем, находящимся в знаменателе, должно быть строго положительным (так как на ноль делить нельзя):

$36x-x^3 > 0$

2. Выражение под вторым корнем должно быть неотрицательным:

$x^2-16 \ge 0$

Решим эти два неравенства и найдем пересечение их решений.

Решаем первое неравенство:

$36x-x^3 > 0$

$x(36-x^2) > 0$

$x(6-x)(6+x) > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6) \cup (0, 6)$.

Решаем второе неравенство:

$x^2-16 \ge 0$

$(x-4)(x+4) \ge 0$

Это неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней $-4$ и $4$, то есть при $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств:

$((-\infty, -6) \cup (0, 6)) \cap ((-\infty, -4] \cup [4, \infty))$

Для наглядности можно изобразить множества на числовой оси. Пересечение дает два интервала:

- Первый интервал: $(-\infty, -6) \cap (-\infty, -4] = (-\infty, -6)$.

- Второй интервал: $(0, 6) \cap [4, \infty) = [4, 6)$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговую область определения выражения.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup [4, 6)$.