Номер 47.16, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.16. 1) $f(x) = \frac{5}{x - 9} - 1;$

2) $f(x) = 2 - \frac{3}{x + 4};$

3) $f(x) = 3 - \frac{2}{x - 2}.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x-9} - 1$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилами дифференцирования. Производная разности функций равна разности производных:

$f'(x) = (\frac{5}{x-9} - 1)' = (\frac{5}{x-9})' - (1)'.$

Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.

Для нахождения производной дроби $\frac{5}{x-9}$ представим ее в виде степенной функции $5(x-9)^{-1}$ и воспользуемся формулой производной степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ и правилом вынесения константы за знак производной.

Пусть $u = x-9$, тогда $u' = (x-9)' = 1$.

$(\frac{5}{x-9})' = (5(x-9)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x-9)^{-1-1} \cdot (x-9)' = -5(x-9)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x-9)^2}$.

Теперь объединим результаты:

$f'(x) = -\frac{5}{(x-9)^2} - 0 = -\frac{5}{(x-9)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5}{(x-9)^2}$.

2) Дана функция $f(x) = 2 - \frac{3}{x+4}$.

Найдем производную функции $f'(x)$, используя правило производной разности:

$f'(x) = (2 - \frac{3}{x+4})' = (2)' - (\frac{3}{x+4})'.$

Производная константы $2$ равна нулю: $(2)' = 0$.

Найдем производную дроби $\frac{3}{x+4}$. Представим ее как $3(x+4)^{-1}$ и применим правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Пусть $u = x+4$, тогда $u' = (x+4)' = 1$.

$(\frac{3}{x+4})' = (3(x+4)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (x+4)^{-1-1} \cdot (x+4)' = -3(x+4)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x+4)^2}$.

Подставим найденные производные в исходное выражение:

$f'(x) = 0 - (-\frac{3}{(x+4)^2}) = \frac{3}{(x+4)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{(x+4)^2}$.

3) Дана функция $f(x) = 3 - \frac{2}{x-2}$.

Для нахождения производной $f'(x)$ применим правило производной разности:

$f'(x) = (3 - \frac{2}{x-2})' = (3)' - (\frac{2}{x-2})'.$

Производная константы $3$ равна нулю: $(3)' = 0$.

Найдем производную дроби $\frac{2}{x-2}$. Представим ее в виде $2(x-2)^{-1}$ и воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Пусть $u = x-2$, тогда $u' = (x-2)' = 1$.

$(\frac{2}{x-2})' = (2(x-2)^{-1})' = 2 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -2(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{2}{(x-2)^2}$.

Соберем все вместе:

$f'(x) = 0 - (-\frac{2}{(x-2)^2}) = \frac{2}{(x-2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{(x-2)^2}$.