Номер 47.14, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$

(47.14—47.17):

47.14.1) $f(x) = x^2 - 8x + 12;$

2) $f(x) = -x^2 - 8x + 9;$

3) $f(x) = 4x^2 - 4x - 3;$

4) $f(x) = -2x^2 + 7x - 5.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^2 - 8x + 12$ воспользуемся производной.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 8x + 12)' = 2x - 8$.

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$.

Критическая точка $x=4$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, 4)$ и $(4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

- На промежутке $(-\infty, 4)$: возьмем пробную точку, например $x=0$. $f'(0) = 2(0) - 8 = -8$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает на этом промежутке.

- На промежутке $(4, +\infty)$: возьмем пробную точку, например $x=5$. $f'(5) = 2(5) - 8 = 10 - 8 = 2$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 4]$.

2) Для функции $f(x) = -x^2 - 8x + 9$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-x^2 - 8x + 9)' = -2x - 8$.

Найдем критические точки:

$f'(x) = 0$

$-2x - 8 = 0$

$-2x = 8$

$x = -4$.

Критическая точка $x=-4$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, -4)$ и $(-4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

- На промежутке $(-\infty, -4)$: возьмем $x=-5$. $f'(-5) = -2(-5) - 8 = 10 - 8 = 2$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает на этом промежутке.

- На промежутке $(-4, +\infty)$: возьмем $x=0$. $f'(0) = -2(0) - 8 = -8$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает на этом промежутке.

Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, -4]$ и убывает на промежутке $[-4, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -4]$, убывает на промежутке $[-4, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = 4x^2 - 4x - 3$.

Найдем производную:

$f'(x) = (4x^2 - 4x - 3)' = 8x - 4$.

Найдем критические точки:

$f'(x) = 0$

$8x - 4 = 0$

$8x = 4$

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Критическая точка $x=\frac{1}{2}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

- На промежутке $(-\infty, \frac{1}{2})$: возьмем $x=0$. $f'(0) = 8(0) - 4 = -4$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На промежутке $(\frac{1}{2}, +\infty)$: возьмем $x=1$. $f'(1) = 8(1) - 4 = 4$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Итак, функция убывает на $(-\infty, \frac{1}{2}]$ и возрастает на $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{1}{2}, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{2}]$.

4) Для функции $f(x) = -2x^2 + 7x - 5$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-2x^2 + 7x - 5)' = -4x + 7$.

Найдем критические точки:

$f'(x) = 0$

$-4x + 7 = 0$

$-4x = -7$

$x = \frac{7}{4}$.

Критическая точка $x=\frac{7}{4}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, \frac{7}{4})$ и $(\frac{7}{4}, +\infty)$.

- На промежутке $(-\infty, \frac{7}{4})$: возьмем $x=0$. $f'(0) = -4(0) + 7 = 7$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На промежутке $(\frac{7}{4}, +\infty)$: возьмем $x=2$. $f'(2) = -4(2) + 7 = -8 + 7 = -1$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty, \frac{7}{4}]$ и убывает на $[\frac{7}{4}, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{7}{4}]$, убывает на промежутке $[\frac{7}{4}, +\infty)$.