Номер 47.10, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.10. Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что функция $f(x)$:

1) возрастает на интервале $(-\infty, -4]$ и убывает на интервале $[-4, +\infty)$;

2) убывает на интервале $(-\infty, -0.5]$ и возрастает на интервале $[-0.5, +\infty)$.

Для того чтобы изобразить эскиз графика производной функции $y = f'(x)$, необходимо использовать основное свойство производной, связывающее её знак с поведением самой функции $f(x)$.

Правило гласит:

1. Если на некотором интервале функция $f(x)$ возрастает, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неотрицательна (то есть $f'(x) \ge 0$). График производной на этом интервале лежит выше или на оси абсцисс (Ox).

2. Если на некотором интервале функция $f(x)$ убывает, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна (то есть $f'(x) \le 0$). График производной на этом интервале лежит ниже или на оси абсцисс (Ox).

3. В точках, где характер монотонности функции меняется (точки экстремума), производная дифференцируемой функции равна нулю ($f'(x) = 0$). График производной в этих точках пересекает ось абсцисс.

1) возрастает на интервале $(-\infty; -4]$ и убывает на интервале $[-4; +\infty)$

Проанализируем поведение производной $f'(x)$ на основе данных о функции $f(x)$.

Так как $f(x)$ возрастает на $(-\infty; -4]$, это означает, что её производная $f'(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -4]$. То есть, для всех $x < -4$ производная $f'(x) > 0$, а в точке $x=-4$ она может быть равна нулю.

Так как $f(x)$ убывает на $[-4; +\infty)$, это означает, что её производная $f'(x) \le 0$ при $x \in [-4, +\infty)$. То есть, для всех $x > -4$ производная $f'(x) < 0$, а в точке $x=-4$ она равна нулю.

В точке $x = -4$ функция $f(x)$ достигает своего максимума, и её производная в этой точке равна нулю: $f'(-4) = 0$.

Таким образом, для эскиза графика $y=f'(x)$ мы имеем следующие условия:

- при $x < -4$, график $y=f'(x)$ находится выше оси Ox;

- при $x > -4$, график $y=f'(x)$ находится ниже оси Ox;

- при $x = -4$, график $y=f'(x)$ пересекает ось Ox.

Простейшим эскизом, удовлетворяющим этим условиям, является прямая линия с отрицательным наклоном, проходящая через точку $(-4, 0)$. Например, это может быть график функции $y = -x - 4$.

Ответ: Эскиз графика производной $y = f'(x)$ представляет собой график функции, которая положительна при $x \in (-\infty, -4)$, равна нулю при $x = -4$ и отрицательна при $x \in (-4, +\infty)$. Например, это прямая, пересекающая ось Ox в точке $(-4, 0)$ и проходящая из второй в четвертую координатную четверть.

2) убывает на интервале $(-\infty; -0,5]$ и возрастает на интервале $[-0,5; +\infty)$

Проанализируем поведение производной $f'(x)$ на основе данных о функции $f(x)$.

Так как $f(x)$ убывает на $(-\infty; -0,5]$, это означает, что её производная $f'(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, -0,5]$. То есть, для всех $x < -0,5$ производная $f'(x) < 0$, а в точке $x=-0,5$ она может быть равна нулю.

Так как $f(x)$ возрастает на $[-0,5; +\infty)$, это означает, что её производная $f'(x) \ge 0$ при $x \in [-0,5, +\infty)$. То есть, для всех $x > -0,5$ производная $f'(x) > 0$, а в точке $x=-0,5$ она равна нулю.

В точке $x = -0,5$ функция $f(x)$ достигает своего минимума, и её производная в этой точке равна нулю: $f'(-0,5) = 0$.

Таким образом, для эскиза графика $y=f'(x)$ мы имеем следующие условия:

- при $x < -0,5$, график $y=f'(x)$ находится ниже оси Ox;

- при $x > -0,5$, график $y=f'(x)$ находится выше оси Ox;

- при $x = -0,5$, график $y=f'(x)$ пересекает ось Ox.

Простейшим эскизом, удовлетворяющим этим условиям, является прямая линия с положительным наклоном, проходящая через точку $(-0,5, 0)$. Например, это может быть график функции $y = x + 0,5$.

Ответ: Эскиз графика производной $y = f'(x)$ представляет собой график функции, которая отрицательна при $x \in (-\infty, -0.5)$, равна нулю при $x = -0.5$ и положительна при $x \in (-0.5, +\infty)$. Например, это прямая, пересекающая ось Ox в точке $(-0.5, 0)$ и проходящая из третьей в первую координатную четверть.