Номер 47.6, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.6. Докажите, что в области определения является возрастающей функция:

1) $f(x) = 14 + 5x;$ 2) $f(x) = 4 + x^5;$

3) $f(x) = -\frac{3}{x};$ 4) $f(x) = -\frac{6}{x} + 9.$

47.7. Докажите, что в области определения является убывающей

Для доказательства того, что функция является возрастающей в своей области определения, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из каждого непрерывного промежутка области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Это эквивалентно тому, что разность $f(x_2) - f(x_1)$ положительна.

1) $f(x) = 14 + 5x$

Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Возьмем любые два значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$.

Найдем разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (14 + 5x_2) - (14 + 5x_1) = 14 + 5x_2 - 14 - 5x_1 = 5(x_2 - x_1)$.

Поскольку по условию $x_2 > x_1$, то разность $x_2 - x_1 > 0$.

Так как $5 > 0$ и $x_2 - x_1 > 0$, то их произведение $5(x_2 - x_1) > 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что означает $f(x_2) > f(x_1)$.

Таким образом, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = 4 + x^5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Возьмем любые два значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_2 > x_1$.

Найдем разность значений функции в этих точках:

$f(x_2) - f(x_1) = (4 + x_2^5) - (4 + x_1^5) = x_2^5 - x_1^5$.

Рассмотрим три возможных случая для $x_1$ и $x_2$:

1. Если $0 \le x_1 < x_2$, то, поскольку функция $y=t^5$ возрастает для положительных $t$, имеем $x_1^5 < x_2^5$, и значит $x_2^5 - x_1^5 > 0$.

2. Если $x_1 < x_2 \le 0$, пусть $y_1 = -x_2$ и $y_2 = -x_1$. Тогда $0 \le y_1 < y_2$. В этом случае $x_2^5 - x_1^5 = (-y_1)^5 - (-y_2)^5 = -y_1^5 - (-y_2^5) = y_2^5 - y_1^5$. Так как $y_1 < y_2$ и они неотрицательны, $y_2^5 - y_1^5 > 0$.

3. Если $x_1 < 0 < x_2$, то $x_1^5 < 0$, а $x_2^5 > 0$. Следовательно, разность $x_2^5 - x_1^5$ будет положительной (положительное число минус отрицательное).

Во всех случаях для $x_2 > x_1$ выполняется $x_2^5 > x_1^5$, а значит и $f(x_2) > f(x_1)$.

Таким образом, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = -\frac{3}{x}$

Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Докажем, что функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

1. Промежуток $(0; +\infty)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $0 < x_1 < x_2$.

Так как $x_1$ и $x_2$ положительны, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим обе части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{x_1} < -\frac{3}{x_2}$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, функция возрастает на $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2 < 0$.

Так как $x_1$ и $x_2$ отрицательны, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим обе части неравенства на -3: $-\frac{3}{x_1} < -\frac{3}{x_2}$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, функция возрастает на $(-\infty; 0)$.

Функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = -\frac{6}{x} + 9$

Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Данная функция является суммой функции $g(x) = -\frac{6}{x}$ и константы $9$. Характер монотонности (возрастание или убывание) определяется функцией $g(x)$.

Докажем, что функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

1. Промежуток $(0; +\infty)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $0 < x_1 < x_2$.

Из $x_1 < x_2$ следует $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим на -6 (знак неравенства изменится): $-\frac{6}{x_1} < -\frac{6}{x_2}$.

Прибавим к обеим частям 9: $-\frac{6}{x_1} + 9 < -\frac{6}{x_2} + 9$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Функция возрастает на $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$. Возьмем любые $x_1, x_2$ из этого промежутка, такие что $x_1 < x_2 < 0$.

Из $x_1 < x_2$ следует $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$.

Умножим на -6 (знак неравенства изменится): $-\frac{6}{x_1} < -\frac{6}{x_2}$.

Прибавим к обеим частям 9: $-\frac{6}{x_1} + 9 < -\frac{6}{x_2} + 9$.

Это означает, что $f(x_1) < f(x_2)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$.

Функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: Что и требовалось доказать.