Номер 47.1, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.1. На рисунке 47.1 изображен график функции $y = f(x)$.

По графику найдите промежутки, в которых производная функции:

1) положительная;

2) отрицательная.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Производная функции $y = f(x)$ в некоторой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, то функция возрастает (касательная направлена вверх). Если производная отрицательна, то функция убывает (касательная направлена вниз). Таким образом, нам нужно найти промежутки возрастания и убывания функции по ее графику.

График а)

На этом графике изображена гладкая функция. Точки, в которых производная меняет свой знак, являются точками экстремумов. Из графика видно, что в точке $x = a_4$ находится локальный максимум, а в точке $x = a_6$ — локальный минимум. В этих точках производная функции равна нулю, $f'(a_4) = 0$ и $f'(a_6) = 0$.

1) положительная

Производная $f'(x) > 0$ на тех промежутках, где функция $f(x)$ возрастает. По графику видим, что функция возрастает на промежутке до точки максимума $x=a_4$ и на промежутке после точки минимума $x=a_6$.

Ответ: $x \in (-\infty; a_4) \cup (a_6; +\infty)$.

2) отрицательная

Производная $f'(x) < 0$ на тех промежутках, где функция $f(x)$ убывает. По графику видим, что функция убывает на промежутке между точкой максимума $x=a_4$ и точкой минимума $x=a_6$.

Ответ: $x \in (a_4; a_6)$.

График б)

На этом графике изображена кусочно-линейная функция, которая имеет точки излома и точки разрыва. В точках излома ($a_3, a_4, a_5, a_6$) и в точках разрыва ($a_2, a_7$) производная не существует. Эти точки являются границами промежутков, на которых производная сохраняет свой знак.

1) положительная

Производная $f'(x) > 0$ на промежутках возрастания функции $f(x)$. Из графика видно, что функция возрастает на следующих интервалах: до точки $a_2$, от $a_3$ до $a_4$, от $a_5$ до $a_6$ и после точки $a_7$.

Ответ: $x \in (-\infty; a_2) \cup (a_3; a_4) \cup (a_5; a_6) \cup (a_7; +\infty)$.

2) отрицательная

Производная $f'(x) < 0$ на промежутках убывания функции $f(x)$. Из графика видно, что функция убывает на следующих интервалах: от $a_2$ до $a_3$, от $a_4$ до $a_5$ и от $a_6$ до $a_7$.

Ответ: $x \in (a_2; a_3) \cup (a_4; a_5) \cup (a_6; a_7)$.