Номер 10, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Если материальная точка движется прямолинейно по закону $S = \frac{2}{3}t^3 - \frac{7}{2}t^2 + 5t + 10$, то ее скорость равна нулю в моменты времени:

A) $t = 1$ c;

B) $t_1 = 2$ c; $t_2 = 3$ c;

C) $t_1 = 1$ c; $t_2 = 2,5$ c;

D) $t = 2$ c.

Задан закон прямолинейного движения материальной точки, который описывает зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$:

$S(t) = \frac{2}{3}t^3 - \frac{7}{2}t^2 + 5t + 10$

Скорость материальной точки $v(t)$ является первой производной от пути $S(t)$ по времени $t$. Чтобы найти функцию скорости, необходимо продифференцировать функцию пути по переменной $t$.

$v(t) = S'(t) = (\frac{2}{3}t^3 - \frac{7}{2}t^2 + 5t + 10)'$

Используя основные правила дифференцирования (в частности, производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$), находим производную:

$v(t) = \frac{2}{3} \cdot (t^3)' - \frac{7}{2} \cdot (t^2)' + 5 \cdot (t)' + (10)'$

$v(t) = \frac{2}{3} \cdot 3t^{3-1} - \frac{7}{2} \cdot 2t^{2-1} + 5 \cdot 1t^{1-1} + 0$

$v(t) = 2t^2 - 7t + 5$

По условию задачи требуется найти моменты времени, когда скорость равна нулю. Для этого приравниваем полученное выражение для скорости к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

$2t^2 - 7t + 5 = 0$

Для решения квадратного уравнения вида $at^2 + bt + c = 0$ найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -7$, $c = 5$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Так как дискриминант $D = 9 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$

Таким образом, скорость материальной точки обращается в нуль в моменты времени $t_1 = 1$ с и $t_2 = 2,5$ с. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту C.

Ответ: C) $t_1 = 1$ c; $t_2 = 2,5$ c;