Номер 47.2, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.2. На рисунке 47.2 изображен график функции $y = f'(x)$. С помощью графика найдите промежутки: 1) возрастания; 2) убывания; 3) знакопостоянства.

б)

Рис. 47.2

Для решения задачи воспользуемся свойством производной: если на некотором промежутке производная функции $f'(x)$ положительна, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если производная $f'(x)$ отрицательна, то функция $f(x)$ убывает. Промежутки знакопостоянства функции $y=f'(x)$ — это промежутки, на которых она сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).

Проанализируем каждый график отдельно.

График а)

На рисунке 47.2 а) изображен график производной $y=f'(x)$.

1. Найдем нули производной, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс: $x=b_1, x=b_3, x=b_4, x=b_6$. В этих точках $f'(x)=0$.

2. Определим знаки производной на интервалах между нулями:

• $f'(x) > 0$ (график выше оси Ох) на интервалах $(b_1, b_3)$ и $(b_4, b_6)$.
• $f'(x) < 0$ (график ниже оси Ох) на интервалах $(-\infty, b_1)$, $(b_3, b_4)$ и $(b_6, +\infty)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) возрастания

Функция $f(x)$ возрастает, когда $f'(x) \ge 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $[b_1, b_3]$ и $[b_4, b_6]$.

Ответ: промежутки возрастания функции $f(x)$: $[b_1, b_3]$ и $[b_4, b_6]$.

2) убывания

Функция $f(x)$ убывает, когда $f'(x) \le 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $(-\infty, b_1]$, $[b_3, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$.

Ответ: промежутки убывания функции $f(x)$: $(-\infty, b_1]$, $[b_3, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$.

3) знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства для функции $y=f'(x)$ определяются по ее расположению относительно оси Ох.

Функция $f'(x)$ положительна ($f'(x)>0$) на интервалах, где ее график находится выше оси абсцисс.

Функция $f'(x)$ отрицательна ($f'(x)<0$) на интервалах, где ее график находится ниже оси абсцисс.

Ответ: $f'(x)>0$ при $x \in (b_1, b_3) \cup (b_4, b_6)$; $f'(x)<0$ при $x \in (-\infty, b_1) \cup (b_3, b_4) \cup (b_6, +\infty)$.

График б)

На рисунке 47.2 б) изображен график производной $y=f'(x)$.

1. Найдем нули производной, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс: $x=b_1, x=b_4, x=b_6$. В этих точках $f'(x)=0$.

2. Определим знаки производной на интервалах между нулями:

• $f'(x) > 0$ (график выше оси Ох) на интервалах $(-\infty, b_1)$ и $(b_4, b_6)$.
• $f'(x) < 0$ (график ниже оси Ох) на интервалах $(b_1, b_4)$ и $(b_6, +\infty)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) возрастания

Функция $f(x)$ возрастает, когда $f'(x) \ge 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $(-\infty, b_1]$ и $[b_4, b_6]$.

Ответ: промежутки возрастания функции $f(x)$: $(-\infty, b_1]$ и $[b_4, b_6]$.

2) убывания

Функция $f(x)$ убывает, когда $f'(x) \le 0$. Согласно анализу графика, это происходит на промежутках $[b_1, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$. Отметим, что на отрезке $[b_2, b_3]$ производная постоянна и отрицательна, поэтому на этом отрезке функция $f(x)$ убывает линейно, и он является частью общего промежутка убывания $[b_1, b_4]$.

Ответ: промежутки убывания функции $f(x)$: $[b_1, b_4]$ и $[b_6, +\infty)$.

3) знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства для функции $y=f'(x)$ определяются по ее расположению относительно оси Ох.

Функция $f'(x)$ положительна ($f'(x)>0$) на интервалах, где ее график находится выше оси абсцисс.

Функция $f'(x)$ отрицательна ($f'(x)<0$) на интервалах, где ее график находится ниже оси абсцисс.

Ответ: $f'(x)>0$ при $x \in (-\infty, b_1) \cup (b_4, b_6)$; $f'(x)<0$ при $x \in (b_1, b_4) \cup (b_6, +\infty)$.