Номер 47.8, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.8. Найдите промежутки возрастания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 0,49;$

2) $f(x) = -0,64 + x^2;$

3) $f(x) = -0,027 + x^3.$

1) Для нахождения промежутков возрастания функции $f(x) = x^2 - 0,49$ необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она положительна.

Производная функции: $f'(x) = (x^2 - 0,49)' = 2x$.

Функция возрастает, когда ее производная $f'(x) > 0$.

Решим неравенство: $2x > 0$.

Отсюда следует, что $x > 0$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку принято включать в промежуток возрастания.

Также можно отметить, что график данной функции — это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $x=0$. Такая парабола возрастает на промежутке от своей вершины до плюс бесконечности.

Ответ: $[0; +\infty)$.

2) Для нахождения промежутков возрастания функции $f(x) = -0,64 + x^2$, которую можно записать как $f(x) = x^2 - 0,64$, найдем ее производную.

Производная функции: $f'(x) = (x^2 - 0,64)' = 2x$.

Функция возрастает, когда ее производная $f'(x) > 0$.

Решим неравенство: $2x > 0$.

Отсюда следует, что $x > 0$.

Промежуток возрастания — $(0; +\infty)$. Включая граничную точку $x=0$ (из-за непрерывности функции), получаем итоговый промежуток.

Ответ: $[0; +\infty)$.

3) Для нахождения промежутков возрастания функции $f(x) = -0,027 + x^3$ найдем ее производную.

Производная функции: $f'(x) = (-0,027 + x^3)' = 3x^2$.

Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна, $f'(x) \ge 0$.

Рассмотрим неравенство: $3x^2 \ge 0$.

Это неравенство верно для любого действительного значения $x$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в изолированной точке, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.