Номер 47.15, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.15.1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 8x^2 - 10;$

2) $f(x) = x^3 + 3x - 20;$

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2,5x^2 + 7x + 1;$

4) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 13.$

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 8x^2 - 10$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 8x^2 - 10)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 8 \cdot 2x^{2-1} - 0 = x^2 - 16x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$x^2 - 16x = 0$

$x(x - 16) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 16)$ и $(16; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$: $f'(-1) = (-1)^2 - 16(-1) = 1 + 16 = 17 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 16)$, например, при $x = 1$: $f'(1) = 1^2 - 16(1) = 1 - 16 = -15 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(16; +\infty)$, например, при $x = 20$: $f'(20) = 20^2 - 16(20) = 400 - 320 = 80 > 0$. Функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

$f_{max} = f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 8(0)^2 - 10 = -10$.

- В точке $x = 16$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$f_{min} = f(16) = \frac{1}{3}(16)^3 - 8(16)^2 - 10 = \frac{4096}{3} - 8 \cdot 256 - 10 = \frac{4096}{3} - 2048 - 10 = \frac{4096}{3} - 2058 = \frac{4096 - 6174}{3} = -\frac{2078}{3} = -692\frac{2}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[16; +\infty)$; убывает на промежутке $[0; 16]$; точка максимума $x_{max} = 0$, $f(0) = -10$; точка минимума $x_{min} = 16$, $f(16) = -692\frac{2}{3}$.

2) $f(x) = x^3 + 3x - 20$

1. Находим производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 3x - 20)' = 3x^2 + 3$.

2. Находим критические точки:

$f'(x) = 0$

$3x^2 + 3 = 0$

$3(x^2 + 1) = 0$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, критических точек нет.

3. Исследуем знак производной.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, $f'(x) = 3(x^2 + 1) > 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Делаем вывод о монотонности и экстремумах.

Так как производная функции положительна на всей числовой оси, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$; точек экстремума нет.

3) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2,5x^2 + 7x + 1$

1. Находим производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 2,5x^2 + 7x + 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2,5 \cdot 2x + 7 = x^2 + 5x + 7$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^2 + 5x + 7 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Критических точек нет.

3. Исследуем знак производной.

Графиком производной $f'(x) = x^2 + 5x + 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), которая не пересекает ось абсцисс. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$.

4. Делаем вывод о монотонности и экстремумах.

Так как производная функции всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей области определения. Точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$; точек экстремума нет.

4) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 13$

1. Находим производную функции. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x - 13)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 12 = 6x^2 - 6x - 12$.

2. Находим критические точки:

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -1)$, например, при $x = -2$: $f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(-1; 2)$, например, при $x = 0$: $f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x = 3$: $f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0$. Функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума.

- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума.

$f_{max} = f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) - 13 = -2 - 3 + 12 - 13 = -6$.

- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка локального минимума.

$f_{min} = f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) - 13 = 16 - 12 - 24 - 13 = -33$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$; убывает на промежутке $[-1; 2]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $f(-1) = -6$; точка минимума $x_{min} = 2$, $f(2) = -33$.