Номер 47.9, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.9. Найдите промежутки убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 + 0,5x$;

2) $f(x) = 0,4x - x^2$;

3) $f(x) = -0,64x + x^3$.

Для нахождения промежутков убывания функции $y=f(x)$ используется следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.
4. Определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения.
5. Промежутки, на которых $f'(x) \le 0$, являются промежутками убывания функции.

1) f(x) = x² + 0,5x;

1. Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 0,5x)' = 2x + 0,5$.

3. Находим критические точки. Производная определена на всей числовой оси. Приравниваем производную к нулю:

$2x + 0,5 = 0$

$2x = -0,5$

$x = -0,25$

4. Критическая точка $x = -0,25$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, -0,25)$ и $(-0,25, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

Для $x < -0,25$ (например, $x=-1$): $f'(-1) = 2(-1) + 0,5 = -1,5 < 0$.

Для $x > -0,25$ (например, $x=0$): $f'(0) = 2(0) + 0,5 = 0,5 > 0$.

5. Функция убывает на том промежутке, где её производная $f'(x) \le 0$. Это выполняется при $x \le -0,25$.

Ответ: $(-\infty, -0,25]$.

2) f(x) = 0,4x - x²;

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,4x - x^2)' = 0,4 - 2x$.

3. Находим критические точки. Производная определена на всей числовой оси. Приравниваем производную к нулю:

$0,4 - 2x = 0$

$2x = 0,4$

$x = 0,2$

4. Критическая точка $x = 0,2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, 0,2)$ и $(0,2, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

Для $x < 0,2$ (например, $x=0$): $f'(0) = 0,4 - 2(0) = 0,4 > 0$.

Для $x > 0,2$ (например, $x=1$): $f'(1) = 0,4 - 2(1) = -1,6 < 0$.

5. Функция убывает на том промежутке, где её производная $f'(x) \le 0$. Это выполняется при $0,4 - 2x \le 0$, то есть $x \ge 0,2$.

Ответ: $[0,2, +\infty)$.

3) f(x) = -0,64x + x³;

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (-0,64x + x^3)' = -0,64 + 3x^2$.

3. Находим критические точки. Производная определена на всей числовой оси. Приравниваем производную к нулю:

$-0,64 + 3x^2 = 0$

$3x^2 = 0,64$

$x^2 = \frac{0,64}{3}$

$x = \pm\sqrt{\frac{0,64}{3}} = \pm\frac{\sqrt{0,64}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{0,8}{\sqrt{3}}$

Критические точки: $x_1 = -\frac{0,8}{\sqrt{3}}$ и $x_2 = \frac{0,8}{\sqrt{3}}$.

4. Функция убывает, когда её производная $f'(x) \le 0$. Решим неравенство:

$3x^2 - 0,64 \le 0$

Графиком функции $y = 3x^2 - 0,64$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) между её корнями, включая сами корни.

Таким образом, неравенство выполняется для $x \in [-\frac{0,8}{\sqrt{3}}, \frac{0,8}{\sqrt{3}}]$.

Этот промежуток можно также записать, избавившись от иррациональности в знаменателе: $[-\frac{0,8\sqrt{3}}{3}, \frac{0,8\sqrt{3}}{3}]$.

Ответ: $[-\frac{0,8}{\sqrt{3}}, \frac{0,8}{\sqrt{3}}]$.