Номер 47.7, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47.7. Докажите, что в области определения является убывающей функция:

1) $f(x) = -2x + 8$;

2) $f(x) = 4 - x^3$;

3) $f(x) = \frac{10}{x}$;

4) $f(x) = \frac{5}{x} - 11$.

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -2x + 8$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной линейной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (-2x + 8)' = -2$.

Так как производная $f'(x) = -2$ является постоянным отрицательным числом для любого значения $x$, то функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция $f(x) = -2x + 8$ является убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, поскольку ее производная $f'(x) = -2 < 0$.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 4 - x^3$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной кубической функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (4 - x^3)' = -3x^2$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(x) = -3x^2$ всегда неположительна ($f'(x) \le 0$). Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$, а во всех остальных точках она строго отрицательна. Это означает, что функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция $f(x) = 4 - x^3$ является убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, поскольку ее производная $f'(x) = -3x^2 \le 0$ для всех $x$.

3) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{10}{x}$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (\frac{10}{x})' = (10x^{-1})' = -10x^{-2} = -\frac{10}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \ne 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = -\frac{10}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция $f(x) = \frac{10}{x}$ является убывающей на каждом из промежутков своей области определения, $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $f'(x) = -\frac{10}{x^2} < 0$ для всех $x \ne 0$.

4) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{5}{x} - 11$ является убывающей в своей области определения, найдем ее производную.

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (\frac{5}{x} - 11)' = (5x^{-1} - 11)' = -5x^{-2} - 0 = -\frac{5}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \ne 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = -\frac{5}{x^2}$ всегда отрицательна. Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.

Ответ: функция $f(x) = \frac{5}{x} - 11$ является убывающей на каждом из промежутков своей области определения, $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $f'(x) = -\frac{5}{x^2} < 0$ для всех $x \ne 0$.